Номер 8.74, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.74, страница 189.

Условие.

8.74. С помощью дифракционной решётки с периодом 0,02 мм на экране, находящемся на расстоянии 1,8 м от решётки, получена дифракционная картина, у которой максимум первого порядка находится на расстоянии 3,6 см от центрального. Найдите длину световой волны.

Решение.

Дано:

Период дифракционной решётки, $d = 0,02 \text{ мм} = 0,02 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Расстояние от решётки до экрана, $L = 1,8 \text{ м}$

Расстояние от центрального максимума до максимума первого порядка, $x = 3,6 \text{ см} = 3,6 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,036 \text{ м}$

Порядок максимума, $k = 1$

Найти:

Длину световой волны, $\lambda$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов описывается формулой:

$d \sin(\varphi) = k \lambda$

где $\text{d}$ — период решётки, $\varphi$ — угол дифракции (угол, под которым наблюдается максимум), $\text{k}$ — порядок максимума, а $\lambda$ — длина световой волны.

Угол дифракции $\varphi$ связан с расстоянием от решётки до экрана $\text{L}$ и расстоянием от центрального максимума до максимума k-го порядка $\text{x}$ следующим соотношением:

$\tan(\varphi) = \frac{x}{L}$

В условиях задачи расстояние до экрана $\text{L}$ значительно больше, чем смещение максимума $\text{x}$ ($1,8 \text{ м} \gg 0,036 \text{ м}$), поэтому угол $\varphi$ очень мал. Для малых углов можно использовать приближение $\sin(\varphi) \approx \tan(\varphi)$.

Таким образом, $\sin(\varphi) \approx \frac{x}{L}$.

Подставим это приближение в основную формулу дифракционной решётки:

$d \frac{x}{L} = k \lambda$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{d \cdot x}{k \cdot L}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\lambda = \frac{(2 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot (3,6 \cdot 10^{-2} \text{ м})}{1 \cdot 1,8 \text{ м}} = \frac{7,2 \cdot 10^{-7}}{1,8} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Полученное значение можно перевести в нанометры: $4 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 400 \text{ нм}$. Это соответствует фиолетовой части видимого спектра.

Ответ: длина световой волны равна $4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$ или 400 нм.