Номер 8.79, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.79, страница 190.

Условие.

8.79. Какова ширина всего спектра первого порядка (длины волн заключены в пределах от 0,38 до 0,76 мкм), полученного на экране, отстоящем на 3 м от дифракционной решётки с периодом 0,01 мм?

Решение.

Дано:
Порядок спектра $k=1$
Минимальная длина волны $\lambda_1 = 0,38 \text{ мкм} = 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
Максимальная длина волны $\lambda_2 = 0,76 \text{ мкм} = 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
Расстояние до экрана $L = 3 \text{ м}$
Период решётки $d = 0,01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Найти:
Ширину спектра $\Delta x$

Решение:

Условие для наблюдения дифракционных максимумов на решётке описывается формулой:$d \sin\theta = k\lambda$где $\text{d}$ — период решётки, $\theta$ — угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок спектра, а $\lambda$ — длина волны света.

Положение максимума на экране, который находится на расстоянии $\text{L}$ от решётки, можно найти по формуле:$x = L \tan\theta$

Для малых углов дифракции справедливо приближение $\sin\theta \approx \tan\theta$. Чтобы проверить, можем ли мы использовать это приближение, рассчитаем синус максимального угла отклонения, соответствующего максимальной длине волны ($\lambda_2$):$\sin\theta_{max} = \frac{k\lambda_2}{d} = \frac{1 \cdot 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = 0,076$Поскольку полученное значение $\sin\theta_{max}$ значительно меньше 1, угол дифракции мал, и мы можем использовать указанное приближение.

Тогда положение максимума на экране можно выразить как:$x \approx L \sin\theta = L \frac{k\lambda}{d}$

Ширина спектра первого порядка $\Delta x$ равна разности положений максимумов для самой длинной волны ($\lambda_2$, красный свет) и самой короткой волны ($\lambda_1$, фиолетовый свет):$\Delta x = x_2 - x_1$$\Delta x = L \frac{k\lambda_2}{d} - L \frac{k\lambda_1}{d} = \frac{kL}{d}(\lambda_2 - \lambda_1)$

Подставим данные из условия в полученную формулу:$\Delta x = \frac{1 \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} (0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м} - 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м})$$\Delta x = 3 \cdot 10^5 \cdot (0,38 \cdot 10^{-6}) \text{ м} = 3 \cdot 0,38 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,114 \text{ м}$

Таким образом, ширина спектра составляет 0,114 м или 11,4 см.

Ответ: 0,114 м.