Номер 8.78, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.78, страница 190.

Условие.

8.78. На дифракционную решётку падает нормально свет с длиной волны 627 нм. На экране, удалённом от решётки на 120 см, наблюдают систему максимумов. Найдите постоянную решётки, если расстояние между центральным максимумом и максимумом первого порядка 39,6 см.

Решение.

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 627$ нм

Расстояние от решётки до экрана, $L = 120$ см

Расстояние между центральным и первым максимумами, $x = 39,6$ см

Порядок максимума, $k = 1$

Переведём все данные в систему СИ:
$\lambda = 627 \times 10^{-9}$ м
$L = 1,2$ м
$x = 0,396$ м

Найти:

Постоянную дифракционной решётки, $\text{d}$

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решётки при нормальном падении света описывается формулой:

$d \sin(\theta) = k\lambda$

где $\text{d}$ — постоянная решётки, $\theta$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Для максимума первого порядка ($k=1$):

$d \sin(\theta) = \lambda$

Из геометрии установки мы можем выразить синус угла дифракции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от решётки до экрана $\text{L}$ и расстояние от центрального максимума до максимума первого порядка $\text{x}$. Гипотенуза этого треугольника равна $\sqrt{L^2 + x^2}$.

Синус угла дифракции $\theta$ определяется как отношение противолежащего катета $\text{x}$ к гипотенузе:

$\sin(\theta) = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$

Подставим это выражение в формулу для максимума:

$d \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} = \lambda$

Отсюда выразим искомую постоянную решётки $\text{d}$:

$d = \frac{\lambda \sqrt{L^2 + x^2}}{x}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления:

$d = \frac{627 \times 10^{-9} \text{ м} \times \sqrt{(1,2 \text{ м})^2 + (0,396 \text{ м})^2}}{0,396 \text{ м}}$

$d = \frac{627 \times 10^{-9} \times \sqrt{1,44 + 0,156816}}{0,396} = \frac{627 \times 10^{-9} \times \sqrt{1,596816}}{0,396}$

$d = \frac{627 \times 10^{-9} \times 1,26365}{0,396} \approx \frac{792,11 \times 10^{-9}}{0,396} \approx 2000,27 \times 10^{-9}$ м

Округлим результат до трёх значащих цифр, так как исходные данные заданы с такой же точностью. Результат можно выразить в микрометрах (мкм), где 1 мкм = $10^{-6}$ м.

$d \approx 2,00 \times 10^{-6}$ м = 2,00 мкм

Ответ: постоянная решётки $d \approx 2,00 \times 10^{-6}$ м (или 2,00 мкм).