Номер 8.83, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.83, страница 190.

Условие.

8.83**. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на дифракционную решётку с периодом $\text{d}$. Если решётку повернуть на угол $\alpha$, то как изменится:

а) положение центрального максимума;

б) расстояние от центрального максимума до максимума порядка $\text{k}$?

Решение.

Дано:

Период дифракционной решетки: $\text{d}$

Угол поворота решетки (угол падения): $\alpha$

Длина волны монохроматического света: $\lambda$

Порядок максимума: $\text{k}$

Найти:

а) Как изменится положение центрального максимума.

б) Как изменится расстояние от центрального максимума до максимума порядка $\text{k}$.

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов дифракционной решетки определяется разностью хода лучей, идущих от соседних щелей. Если плоская волна падает на решетку под углом $\alpha$ к нормали, а дифрагированный свет наблюдается под углом $\varphi$ к нормали, то разность хода лучей $\Delta$ равна:

$\Delta = d(\sin\varphi - \sin\alpha)$

Условие конструктивной интерференции (максимума) имеет вид $\Delta = k\lambda$, где $\text{k}$ – целое число, называемое порядком максимума. Таким образом, общее уравнение дифракционной решетки для наклонного падения света:

$d(\sin\varphi_k - \sin\alpha) = k\lambda$

Здесь $\varphi_k$ – угол дифракции для максимума $\text{k}$-го порядка.

а) положение центрального максимума

Центральный максимум соответствует порядку $k=0$. Подставим это значение в уравнение решетки:

$d(\sin\varphi_0 - \sin\alpha) = 0 \cdot \lambda$

Отсюда следует, что $\sin\varphi_0 - \sin\alpha = 0$, или $\sin\varphi_0 = \sin\alpha$.

Это означает, что угол дифракции для центрального максимума $\varphi_0$ равен углу падения $\alpha$. Луч света, соответствующий центральному максимуму, проходит сквозь решетку, не изменяя своего первоначального направления распространения. Следовательно, его положение на экране останется прежним.

Ответ: Положение центрального максимума не изменится.

б) расстояние от центрального максимума до максимума порядка k

Расстояние на экране между максимумами пропорционально угловому расстоянию между ними. Найдем угловое расстояние от центрального максимума до максимума порядка $\text{k}$ в лабораторной системе отсчета (связанной с направлением падающего света).

Как мы выяснили в пункте а), центральный максимум ($k=0$) не отклоняется, то есть его угловое положение в лабораторной системе отсчета $\beta_0 = 0$.

Угловое положение максимума $\text{k}$-го порядка в лабораторной системе $\beta_k$ связано с углом дифракции $\varphi_k$ (относительно нормали к решетке) и углом поворота $\alpha$ как $\beta_k = \varphi_k - \alpha$.

Следовательно, искомое угловое расстояние равно $|\Delta\beta_k| = |\beta_k - \beta_0| = |\varphi_k - \alpha|$.

В первоначальном случае (при нормальном падении, $\alpha=0$) уравнение решетки было $d\sin\varphi'_k = k\lambda$. Угловое расстояние от центрального максимума (который был при $\varphi'_0=0$) до $\text{k}$-го максимума было $|\varphi'_k|$.

Для анализа изменения этого расстояния выразим $\varphi_k$ из общего уравнения и найдем $\Delta\beta_k$. Однако проще использовать приближение для малых углов отклонения от центрального максимума.

Пусть $\delta_k = \varphi_k - \alpha$ – угловое отклонение $\text{k}$-го максимума от направления центрального. Тогда $\varphi_k = \alpha + \delta_k$. Подставим это в уравнение решетки:

$d(\sin(\alpha + \delta_k) - \sin\alpha) = k\lambda$

Если $\delta_k$ – малый угол, можно использовать разложение синуса в ряд Тейлора вблизи точки $\alpha$: $\sin(\alpha + \delta_k) \approx \sin\alpha + \delta_k\cos\alpha$.

Подставив это приближение, получаем:

$d(\sin\alpha + \delta_k\cos\alpha - \sin\alpha) \approx k\lambda$

$d \delta_k\cos\alpha \approx k\lambda$

Отсюда находим угловое расстояние в повернутой системе:

$\delta_k \approx \frac{k\lambda}{d\cos\alpha}$

В начальном состоянии ($\alpha=0$) для малых углов было $\varphi'_k \approx \frac{k\lambda}{d}$.

Сравним абсолютные величины угловых расстояний:

$|\delta_k| \approx \frac{|k|\lambda}{d\cos\alpha}$ и $|\varphi'_k| \approx \frac{|k|\lambda}{d}$

Так как решетку повернули на угол $\alpha > 0$ (и $\alpha < 90^\circ$), то $0 < \cos\alpha < 1$. Следовательно, $\frac{1}{\cos\alpha} > 1$.

Таким образом, $|\delta_k| \approx \frac{|\varphi'_k|}{\cos\alpha} > |\varphi'_k|$.

Угловое расстояние от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка увеличивается. Линейное расстояние на экране, которое для малых углов пропорционально самому углу ($y \approx L\tan\beta \approx L\beta$), также увеличится.

Ответ: Расстояние от центрального максимума до максимума порядка $\text{k}$ увеличится.