Номер 8.84, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.84, страница 190.

Условие.

8.84**. На дифракционную решётку с периодом 30 мкм падает параллельный пучок рентгеновских лучей с длиной волны 4,5 нм под углом 89,5° к нормали. Под каким углом к первоначальному пучку образуется дифракционный максимум первого порядка?

Решение.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 30$ мкм

Длина волны рентгеновских лучей $\lambda = 4.5$ нм

Угол падения лучей к нормали $\alpha = 89.5^\circ$

Порядок дифракционного максимума $|k| = 1$

$d = 30 \text{ мкм} = 30 \times 10^{-6} \text{ м}$
$\lambda = 4.5 \text{ нм} = 4.5 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Угол $\gamma$ между первоначальным пучком и дифракционным максимумом первого порядка.

Решение:

Условие образования дифракционных максимумов при наклонном падении света на решётку описывается формулой:

$d(\sin\beta_k - \sin\alpha) = k\lambda$

где $\text{d}$ — период решётки, $\alpha$ — угол падения, $\beta_k$ — угол дифракции (оба угла отсчитываются от нормали к решётке), $\lambda$ — длина волны, $\text{k}$ — порядок максимума ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Дифракционный максимум первого порядка соответствует $|k|=1$. Проверим обе возможности: $k=1$ и $k=-1$.

Для $k=1$:

$\sin\beta_1 = \sin\alpha + \frac{\lambda}{d}$

Подставим числовые значения:

$\sin\alpha = \sin(89.5^\circ) \approx 0.99996$

$\frac{\lambda}{d} = \frac{4.5 \times 10^{-9} \text{ м}}{30 \times 10^{-6} \text{ м}} = 1.5 \times 10^{-4} = 0.00015$

$\sin\beta_1 \approx 0.99996 + 0.00015 = 1.00011$

Поскольку значение синуса не может быть больше 1, дифракционный максимум первого порядка для $k=1$ не существует.

Рассмотрим случай $k=-1$:

$\sin\beta_{-1} = \sin\alpha - \frac{\lambda}{d}$

$\sin\beta_{-1} \approx 0.99996 - 0.00015 = 0.99981$

Это значение синуса возможно. Найдём угол дифракции $\beta_{-1}$:

$\beta_{-1} = \arcsin(0.99981) \approx 89.09^\circ$

Угол дифракции $\beta_{-1}$ и угол падения $\alpha$ отсчитываются от нормали. Искомый угол $\gamma$ — это угол отклонения дифрагированного пучка от первоначального. Он равен разности углов $\alpha$ и $\beta_{-1}$:

$\gamma = |\alpha - \beta_{-1}| = |89.5^\circ - 89.09^\circ| = 0.41^\circ$

Ответ: $0.41^\circ$.