Номер 8.81, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.81, страница 190.

Условие.

8.81* На дифракционную решётку с периодом $14 \text{ мкм}$ падает нормально монохроматическая волна. На экране, удалённом от решётки на $2 \text{ м}$, расстояние между максимумами второго и третьего порядков $8,7 \text{ см}$. Какова длина волны падающего света?

Решение.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 14$ мкм

Расстояние от решётки до экрана $L = 2$ м

Расстояние между максимумами второго и третьего порядков $\Delta x = 8,7$ см

Порядки максимумов $k_2 = 2$, $k_3 = 3$

Перевод в систему СИ:

$d = 14 \cdot 10^{-6}$ м

$\Delta x = 8,7 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,087$ м

Найти:

Длина волны падающего света $\lambda$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов для решётки описывается формулой:

$d \sin \varphi_k = k \lambda$

где $\text{d}$ — период решётки, $\varphi_k$ — угол дифракции для максимума $\text{k}$-го порядка, $\lambda$ — длина волны света, а $\text{k}$ — порядок максимума ($k=0, 1, 2, ...$).

Положение максимума $\text{k}$-го порядка на экране, $x_k$, связано с углом дифракции $\varphi_k$ и расстоянием до экрана $\text{L}$ следующим соотношением:

$\tan \varphi_k = \frac{x_k}{L}$

В большинстве случаев углы дифракции малы, поэтому можно использовать приближение $\sin \varphi_k \approx \tan \varphi_k$. С учётом этого, условие максимума принимает вид:

$d \frac{x_k}{L} \approx k \lambda$

Выразим отсюда координату $x_k$ максимума $\text{k}$-го порядка:

$x_k \approx \frac{k \lambda L}{d}$

Согласно условию, дано расстояние между максимумами второго ($k_2=2$) и третьего ($k_3=3$) порядков. Запишем их координаты:

$x_2 = \frac{2 \lambda L}{d}$

$x_3 = \frac{3 \lambda L}{d}$

Расстояние между ними $\Delta x$ равно разности их координат:

$\Delta x = x_3 - x_2 = \frac{3 \lambda L}{d} - \frac{2 \lambda L}{d} = \frac{(3-2) \lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

Из этой формулы выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{\Delta x \cdot d}{L}$

Теперь подставим числовые значения из условия, переведённые в систему СИ:

$\lambda = \frac{0,087 \text{ м} \cdot 14 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0,609 \cdot 10^{-6}$ м

Переведём полученное значение в нанометры (1 нм = $10^{-9}$ м):

$\lambda = 0,609 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 609 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 609$ нм

Ответ: длина волны падающего света равна 609 нм.