Номер 8.80, страница 190 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.80, страница 190.

Условие.

8.80*. Период дифракционной решётки 0,016 мм. Красная линия спектра второго порядка оказалась расположенной на расстоянии 14,2 см от центра дифракционной картины. Расстояние от решётки до экрана 1,5 м. Определите ширину спектра второго порядка. Длина волны фиолетовых лучей $4 \cdot 10^{-7}$ м.

Решение.

Дано:

Период решётки, $d = 0,016 \text{ мм} = 1,6 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
Порядок спектра, $k = 2$
Расстояние до красной линии, $x_к = 14,2 \text{ см} = 0,142 \text{ м}$
Расстояние до экрана, $L = 1,5 \text{ м}$
Длина волны фиолетового света, $\lambda_ф = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Ширину спектра второго порядка, $\Delta x$ - ?

Решение:

Ширина спектра $\Delta x$ определённого порядка — это разность положений его крайних линий (в данном случае красной и фиолетовой) на экране. Для второго порядка:

$\Delta x = x_к - x_ф$

Положение максимумов, создаваемых дифракционной решёткой, определяется формулой:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $\text{d}$ — период решётки, $\varphi$ — угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Для малых углов дифракции, что характерно для большинства задач, можно принять $\sin\varphi \approx \tan\varphi$. Из геометрии установки $\tan\varphi = \frac{x}{L}$, где $\text{x}$ — расстояние от центрального максимума до максимума k-го порядка на экране, а $\text{L}$ — расстояние от решётки до экрана.

Подставив это в основную формулу, получим:

$d \frac{x}{L} = k\lambda$

Отсюда выразим координату $\text{x}$ максимума на экране:

$x = \frac{k \lambda L}{d}$

Расстояние до красной линии $x_к$ нам известно из условия. Рассчитаем расстояние до фиолетовой линии $x_ф$ для спектра второго порядка ($k=2$):

$x_ф = \frac{k \lambda_ф L}{d} = \frac{2 \cdot (4 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot 1,5 \text{ м}}{1,6 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = \frac{12 \cdot 10^{-7}}{1,6 \cdot 10^{-5}} \text{ м} = 7,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,075 \text{ м}$

Теперь найдём ширину спектра второго порядка как разность координат красной и фиолетовой линий:

$\Delta x = x_к - x_ф = 0,142 \text{ м} - 0,075 \text{ м} = 0,067 \text{ м}$

Результат можно также выразить в сантиметрах: $0,067 \text{ м} = 6,7 \text{ см}$.

Ответ: ширина спектра второго порядка составляет 0,067 м (или 6,7 см).