Номер 8.73, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.73, страница 189.

Условие.

8.73. Дифракционная решётка содержит 120 штрихов на 1 мм. Найдите длину волны света, падающего на решётку, если угол между двумя максимумами первого порядка равен 8°.

Решение.

Дано:

Число штрихов на 1 мм: $N_{lines} = 120$

Длина, на которой расположены штрихи: $L = 1 \text{ мм}$

Угол между максимумами первого порядка: $\alpha = 8^\circ$

Порядок максимума: $k = 1$

Перевод в СИ:

$L = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Длину волны света $\lambda$.

Решение:

Условие для наблюдения дифракционных максимумов при прохождении света через дифракционную решётку задаётся формулой:

$d \sin\theta = k \lambda$

где $\text{d}$ — период дифракционной решётки (расстояние между соседними штрихами), $\theta$ — угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Сначала найдём период решётки $\text{d}$. Если на длине $\text{L}$ находится $N_{lines}$ штрихов, то период равен:

$d = \frac{L}{N_{lines}} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{120} \approx 8.333 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

В задаче указан угол $\alpha = 8^\circ$ между двумя максимумами первого порядка. Дифракционная картина симметрична относительно центрального максимума ($k=0$). Это означает, что максимумы первого порядка ($k=1$ и $k=-1$) отклоняются от центра на одинаковые углы $\theta$ в противоположные стороны. Таким образом, угол $\theta$, соответствующий одному максимуму первого порядка, равен половине угла $\alpha$.

$\theta = \frac{\alpha}{2} = \frac{8^\circ}{2} = 4^\circ$

Теперь из формулы дифракционной решётки выразим искомую длину волны $\lambda$ для максимума первого порядка ($k=1$):

$\lambda = d \sin\theta$

Подставим числовые значения и произведём расчёт:

$\lambda = \left(\frac{1 \cdot 10^{-3}}{120}\right) \text{ м} \cdot \sin(4^\circ)$

Значение синуса угла $4^\circ$ приблизительно равно $0.06976$.

$\lambda \approx (8.333 \cdot 10^{-6} \text{ м}) \cdot 0.06976 \approx 5.813 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Для удобства представим результат в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 5.813 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 581.3 \text{ нм}$

Округлим до трёх значащих цифр.

Ответ: $\lambda \approx 581 \text{ нм}$.