Номер 8.68, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.68, страница 189.

Условие.

6.68. Максимум какого наибольшего порядка даёт дифракционная решётка, имеющая 500 штрихов на миллиметр, если на неё нормально падает свет с длиной волны:

а) 500 нм;

б) 720 нм?

Решение.

Дано:

Число штрихов на миллиметр, $N = 500 \text{ мм}^{-1}$

Длина волны света (случай а), $\lambda_a = 500 \text{ нм}$

Длина волны света (случай б), $\lambda_b = 720 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:
Период дифракционной решетки $\text{d}$ – это расстояние между двумя соседними штрихами. Он обратно пропорционален числу штрихов на единицу длины: $d = \frac{1}{N}$.
$d = \frac{1 \text{ мм}}{500} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{500} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}$.
$\lambda_a = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.
$\lambda_b = 720 \text{ нм} = 720 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.

Найти:

Наибольший порядок максимума $k_{max}$ для случаев а) и б).

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов в спектре, полученном с помощью дифракционной решетки, определяется формулой:

$d \sin\varphi = k \lambda$

где $\text{d}$ – период решетки, $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ – порядок максимума (целое число $k = 0, 1, 2, ...$), $\lambda$ – длина волны падающего света.

Из формулы можно выразить синус угла дифракции:

$\sin\varphi = \frac{k \lambda}{d}$

Поскольку синус угла не может превышать 1 ($\sin\varphi \le 1$), то для существования максимума порядка $\text{k}$ должно выполняться неравенство:

$\frac{k \lambda}{d} \le 1$

Отсюда находим максимально возможный порядок максимума $k_{max}$:

$k \le \frac{d}{\lambda}$

Так как $\text{k}$ является целым числом, то наибольший порядок максимума равен целой части от отношения $\frac{d}{\lambda}$.

$k_{max} = \lfloor \frac{d}{\lambda} \rfloor$

Рассчитаем $k_{max}$ для каждого случая.

а)

Для света с длиной волны $\lambda_a = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$:

$k_{max} = \lfloor \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \rfloor = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4$

Ответ: Наибольший порядок максимума для длины волны 500 нм равен 4.

б)

Для света с длиной волны $\lambda_b = 7.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$:

$k_{max} = \lfloor \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{7.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \rfloor = \lfloor \frac{20}{7.2} \rfloor \approx \lfloor 2.78 \rfloor = 2$

Ответ: Наибольший порядок максимума для длины волны 720 нм равен 2.