Номер 8.67, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.67, страница 189.

Условие.

8.67. В школе есть дифракционные решётки, имеющие 100 и 600 штрихов на 1 мм. Какая из них даст на экране более широкий спектр при прочих равных условиях?

Решение.

Дано:

Число штрихов на 1 мм для первой решётки, $N_1 = 100 \text{ штрихов/мм}$

Число штрихов на 1 мм для второй решётки, $N_2 = 600 \text{ штрихов/мм}$

$N_1 = 100 \text{ мм}^{-1} = 100 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1} = 10^5 \text{ м}^{-1}$

$N_2 = 600 \text{ мм}^{-1} = 600 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}$

Найти:

Какая из решёток даст более широкий спектр?

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решётки определяется формулой: $d \sin\varphi = k\lambda$ где $\text{d}$ — период решётки, $\varphi$ — угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ — порядок максимума (целое число), $\lambda$ — длина волны света.

Период решётки $\text{d}$ — это расстояние между соседними штрихами. Он обратно пропорционален числу штрихов $\text{N}$ на единицу длины: $d = \frac{1}{N}$

Вычислим периоды для данных решёток:

Для первой решётки: $d_1 = \frac{1}{N_1} = \frac{1}{100} \text{ мм}$.

Для второй решётки: $d_2 = \frac{1}{N_2} = \frac{1}{600} \text{ мм}$.

Из формулы дифракционной решётки выразим синус угла дифракции: $\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d}$

Ширина спектра определяется разностью углов дифракции для крайних длин волн видимого света (например, красной, $\lambda_к$, и фиолетовой, $\lambda_ф$) в одном и том же порядке $\text{k}$. Чем больше эта разность углов $\Delta\varphi = \varphi_к - \varphi_ф$, тем шире спектр.

Из выражения для $\sin\varphi$ видно, что при прочих равных условиях (одинаковые $\text{k}$ и $\lambda$) синус угла дифракции обратно пропорционален периоду решётки $\text{d}$. Поскольку для углов от 0 до 90° функция синуса является возрастающей, то чем меньше период решётки $\text{d}$, тем больше угол дифракции $\varphi$.

Сравним периоды двух решёток: $d_1 = \frac{1}{100}$ мм, а $d_2 = \frac{1}{600}$ мм. Очевидно, что $d_2 < d_1$.

Следовательно, решётка с меньшим периодом (то есть с большим числом штрихов на миллиметр) будет отклонять лучи света на большие углы. Это приведёт к тому, что весь спектр будет "растянут" на больший угловой диапазон. Таким образом, решётка с $N_2 = 600$ штрихов/мм даст более широкий спектр.

Ответ: Более широкий спектр даст дифракционная решётка, имеющая 600 штрихов на 1 мм.