Номер 8.61, страница 188 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.61, страница 188.

Условие.

8.61*. Какого диаметра должно быть отверстие в передней стенке камеры-обскуры, чтобы на экране получалось наиболее чёткое изображение? Сделайте расчёт для камеры глубиной 40 см для излучения с длиной волны 550 нм, на которой глаз человека обладает наибольшей чувствительностью.

Решение.

Дано:

Глубина камеры-обскуры, $L = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Длина волны света, $\lambda = 550 \text{ нм} = 550 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5.5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Оптимальный диаметр отверстия $\text{d}$.

Решение:

Чёткость изображения в камере-обскуре определяется двумя конкурирующими факторами: геометрическим размытием и дифракционным размытием.

1. Геометрическое размытие: С точки зрения геометрической оптики, каждая точка объекта изображается на экране в виде пятна, форма и размер которого повторяют форму и размер отверстия. Диаметр этого пятна размытия равен диаметру отверстия $\text{d}$. Чтобы уменьшить это размытие, необходимо уменьшать диаметр отверстия.

2. Дифракционное размытие: С точки зрения волновой оптики, при прохождении света через малое отверстие возникает явление дифракции. В результате изображение точечного источника света представляет собой дифракционную картину, состоящую из центрального светлого пятна (диска Эйри) и окружающих его тёмных и светлых колец. Диаметр диска Эйри, который определяет размер дифракционного размытия, можно оценить по формуле: $d_{диф} \approx 2.44 \frac{\lambda L}{d}$. Чтобы уменьшить дифракционное размытие, необходимо увеличивать диаметр отверстия.

Наиболее чёткое изображение достигается при оптимальном диаметре отверстия, когда размеры геометрического и дифракционного размытия примерно равны:

$d \approx d_{диф}$

$d \approx 2.44 \frac{\lambda L}{d}$

Отсюда можно выразить оптимальный диаметр $\text{d}$:

$d^2 \approx 2.44 \lambda L$

$d \approx \sqrt{2.44 \lambda L}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$d \approx \sqrt{2.44 \cdot (5.5 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot 0.4 \text{ м}}$

$d \approx \sqrt{5.368 \cdot 10^{-7}} \text{ м}$

$d \approx \sqrt{53.68 \cdot 10^{-8}} \text{ м}$

$d \approx 7.326 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведём результат в миллиметры:

$d \approx 0.7326 \text{ мм}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$d \approx 0.73 \text{ мм}$

Ответ: Диаметр отверстия должен быть примерно 0.73 мм.