Номер 8.66, страница 188 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.66, страница 188.

Условие.

8.66. Как изменяется картина дифракционного спектра при:

а) удалении экрана от решётки;

б) увеличении длины световой волны;

в) уменьшении числа штрихов на единицу длины решётки?

Решение.

Решение

Картина дифракционного спектра, получаемая с помощью дифракционной решётки, описывается условием максимумов:

$d \sin\varphi = k \lambda$

где $\text{d}$ – период решётки (расстояние между соседними штрихами), $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум интенсивности света, $\text{k}$ – порядок максимума (целое число: $0, \pm1, \pm2, ...$), а $\lambda$ – длина волны света.

Положение $\text{k}$-го максимума на экране, удалённом от решётки на расстояние $\text{L}$, можно найти как $x_k = L \tan\varphi$. Для малых углов дифракции ($\sin\varphi \approx \tan\varphi$), положение максимума можно выразить как:

$x_k \approx L \sin\varphi = \frac{k \lambda L}{d}$

Рассмотрим, как изменится дифракционная картина в каждом из указанных случаев, используя эти соотношения.

а) удалении экрана от решётки

В этом случае увеличивается расстояние $\text{L}$. Из формулы $x_k \approx \frac{k \lambda L}{d}$ следует, что расстояние $x_k$ от центрального максимума до максимума любого другого порядка прямо пропорционально $\text{L}$. Следовательно, при увеличении $\text{L}$ вся дифракционная картина будет линейно растягиваться. Расстояние между соседними спектральными линиями, а также их ширина, увеличатся.

Ответ: При удалении экрана от решётки дифракционный спектр растягивается – расстояния между максимумами (спектральными линиями) и их ширина увеличиваются пропорционально расстоянию до экрана.

б) увеличении длины световой волны

При увеличении длины волны $\lambda$, согласно формуле $d \sin\varphi = k \lambda$, для каждого порядка $\text{k}$ (кроме нулевого) должно увеличиться значение $\sin\varphi$, а значит и сам угол дифракции $\varphi$. Положение максимумов на экране $x_k \approx \frac{k \lambda L}{d}$ также прямо пропорционально длине волны $\lambda$. Таким образом, с увеличением длины волны спектральные линии будут смещаться дальше от центра, и весь спектр станет шире.

Ответ: При увеличении длины световой волны углы дифракции увеличиваются, и спектральные линии смещаются от центрального максимума, что приводит к расширению всего дифракционного спектра.

в) уменьшении числа штрихов на единицу длины решётки

Число штрихов на единицу длины $\text{n}$ связано с периодом решётки $\text{d}$ соотношением $d = 1/n$. Если число штрихов $\text{n}$ уменьшается, то период решётки $\text{d}$ увеличивается. Из формулы $\sin\varphi = \frac{k \lambda}{d}$ следует, что при увеличении $\text{d}$ угол дифракции $\varphi$ для каждого порядка будет уменьшаться. Соответственно, расстояние до максимумов на экране $x_k \approx \frac{k \lambda L}{d}$ также уменьшится. Это приведёт к тому, что вся дифракционная картина сожмётся к центру.

Ответ: При уменьшении числа штрихов на единицу длины период решётки увеличивается, что приводит к уменьшению углов дифракции. В результате дифракционный спектр сжимается, а спектральные линии сдвигаются ближе к центральному максимуму.