Номер 11.113, страница 223 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.113, страница 223.

Условие.

11.113. Определите возраст изделия из дерева, если известно, что активность образца из этого изделия по изотопу $_6^{14}C$ составляет одну треть активности свежей древесины.

Решение.

Дано:

Отношение текущей активности $\text{A}$ к начальной $A_0$: $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{3}$

Период полураспада изотопа углерода $^{14}C$: $T_{1/2} = 5730$ лет

Найти:

$\text{t}$ — возраст изделия.

Решение:

Возраст органических материалов определяется с помощью радиоуглеродного анализа, который основан на законе радиоактивного распада. Активность $\text{A}$ радиоактивного изотопа в образце убывает со временем $\text{t}$ по закону:

$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$

где $A_0$ — начальная активность (активность в живом организме, в данном случае — в свежей древесине), $A(t)$ — активность в момент времени $\text{t}$, а $\lambda$ — постоянная распада.

Из условия задачи известно, что $A(t) = \frac{1}{3}A_0$. Подставим это в формулу:

$\frac{1}{3}A_0 = A_0 e^{-\lambda t}$

Сократив $A_0$, получим:

$\frac{1}{3} = e^{-\lambda t}$

Чтобы найти $\text{t}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln(\frac{1}{3}) = \ln(e^{-\lambda t})$

Используя свойства логарифмов ($\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ и $\ln(e^y) = y$), получаем:

$-\ln(3) = -\lambda t$

Отсюда выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(3)}{\lambda}$

Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$

Подставим это выражение для $\lambda$ в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(3)}{\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}} = T_{1/2} \frac{\ln(3)}{\ln(2)}$

Теперь подставим числовые значения: $T_{1/2} = 5730$ лет, $\ln(2) \approx 0.693$, $\ln(3) \approx 1.0986$.

$t = 5730 \cdot \frac{1.0986}{0.693} \approx 5730 \cdot 1.585 \approx 9082.05$ лет.

Округлим результат до целого числа.

Ответ: возраст изделия из дерева составляет примерно 9082 года.