Номер 11.108, страница 222 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.108, страница 222.

Условие.

11.108. За два дня активность препарата радона уменьшилась в 1,45 раза. Определите период полураспада.

Решение.

Дано:

Время, $t = 2$ дня

Отношение начальной активности к конечной, $\frac{A_0}{A} = 1,45$

Перевод в систему СИ:

$t = 2 \text{ дня} = 2 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 172800 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада, $\text{T}$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение активности радиоактивного вещества со временем. Он может быть выражен через период полураспада $\text{T}$ следующей формулой:

$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где $A_0$ — начальная активность препарата, $\text{A}$ — активность через время $\text{t}$.

Из условия задачи нам дано, что активность уменьшилась в 1,45 раза. Это означает, что отношение начальной активности $A_0$ к активности $\text{A}$ через два дня равно 1,45:

$\frac{A_0}{A} = 1,45$

Теперь выразим это отношение из закона радиоактивного распада:

$\frac{A_0}{A} = \frac{A_0}{A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}} = \frac{1}{2^{-\frac{t}{T}}} = 2^{\frac{t}{T}}$

Приравняем полученное выражение к значению из условия задачи:

$2^{\frac{t}{T}} = 1,45$

Чтобы найти $\text{T}$, прологарифмируем обе части этого уравнения. Удобно использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln(2^{\frac{t}{T}}) = \ln(1,45)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\frac{t}{T} \cdot \ln(2) = \ln(1,45)$

Отсюда выражаем период полураспада $\text{T}$:

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(1,45)}$

Подставим известные значения. Так как время $\text{t}$ дано в днях, то и период полураспада $\text{T}$ мы получим в днях.

$t = 2$ дня

$\ln(2) \approx 0,6931$

$\ln(1,45) \approx 0,3716$

$T = \frac{2 \cdot 0,6931}{0,3716} \approx \frac{1,3862}{0,3716} \approx 3,73$ дня

Ответ: период полураспада радона составляет приблизительно 3,73 дня.