Номер 11.109, страница 222 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Радиоактивность - номер 11.109, страница 222.

Условие.

11.109. Активность препарата урана $^{238}_{92}U$ равна $2,5 \cdot 10^4$ Бк, масса препарата 2 г. Найдите период полураспада.

Решение.

Дано:

Изотоп: $_{92}^{238}U$

Активность препарата, $A = 2,5 \cdot 10^4$ Бк

Масса препарата, $m = 2$ г

Молярная масса урана-238, $M \approx 238$ г/моль

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$m = 2 \cdot 10^{-3}$ кг

$M = 0,238$ кг/моль

Найти:

Период полураспада, $T_{1/2}$

Решение:

Активность радиоактивного препарата $\text{A}$ связана с числом радиоактивных ядер $\text{N}$ и постоянной распада $\lambda$ через следующую формулу:

$A = \lambda N$

Постоянная распада $\lambda$, в свою очередь, связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Объединив эти две формулы, получим выражение для активности через период полураспада:

$A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$

Из этого уравнения мы можем выразить искомую величину – период полураспада:

$T_{1/2} = \frac{N \ln 2}{A}$

Число ядер $\text{N}$ в препарате можно найти, зная его массу $\text{m}$, молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$:

$N = \frac{m}{M} N_A$

Подставим это выражение для $\text{N}$ в формулу для периода полураспада:

$T_{1/2} = \frac{m N_A \ln 2}{M A}$

Теперь выполним вычисления, подставив известные значения в конечную формулу:

$T_{1/2} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot \ln 2}{0,238 \text{ кг/моль} \cdot 2,5 \cdot 10^4 \text{ Бк}}$

Используя $\ln 2 \approx 0,693$, получаем:

$T_{1/2} \approx \frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \cdot 0,693}{0,238 \cdot 2,5 \cdot 10^4} \text{ с} \approx \frac{8,348 \cdot 10^{20}}{5,95 \cdot 10^3} \text{ с} \approx 1,403 \cdot 10^{17} \text{ с}$

Полученный результат выражен в секундах. Для наглядности можно перевести его в годы. Учитывая, что в одном году примерно $3,15 \cdot 10^7$ секунд:

$T_{1/2} = \frac{1,403 \cdot 10^{17} \text{ с}}{3,15 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 4,45 \cdot 10^9$ лет

Ответ: период полураспада урана-238 составляет примерно $1,4 \cdot 10^{17}$ с, или $4,45 \cdot 10^9$ лет.