Номер 11.124, страница 223 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.124, страница 223.

Условие.

11.124. Найдите энергию связи ядра и удельную энергию связи для ядер:

a) ${}_{1}^{2}\text{H}$;

б) ${}_{2}^{4}\text{He}$;

в) ${}_{3}^{6}\text{Li}$;

г) ${}_{3}^{7}\text{Li}$;

д) ${}_{6}^{12}\text{C}$;

e) ${}_{7}^{15}\text{N}$;

ж) ${}_{8}^{16}\text{O}$;

з) ${}_{13}^{27}\text{Al}$;

и) ${}_{92}^{235}\text{U}$;

к) ${}_{94}^{239}\text{Pu}$.

Решение.

Дано:

Масса атома водорода, $m_{a}(_{1}^{1}\text{H}) = 1.007825$ а.е.м.

Масса нейтрона, $m_n = 1.008665$ а.е.м.

Энергетический эквивалент 1 а.е.м., $c^2 \cdot 1 \text{ а.е.м.} = 931.5$ МэВ.

Массы атомов:

$m_a(_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102$ а.е.м.

$m_a(_{2}^{4}\text{He}) = 4.002603$ а.е.м.

$m_a(_{3}^{6}\text{Li}) = 6.015123$ а.е.м.

$m_a(_{3}^{7}\text{Li}) = 7.016004$ а.е.м.

$m_a(_{6}^{12}\text{C}) = 12.000000$ а.е.м.

$m_a(_{7}^{15}\text{N}) = 15.000109$ а.е.м.

$m_a(_{8}^{16}\text{O}) = 15.994915$ а.е.м.

$m_a(_{13}^{27}\text{Al}) = 26.981539$ а.е.м.

$m_a(_{92}^{235}\text{U}) = 235.043930$ а.е.м.

$m_a(_{94}^{239}\text{Pu}) = 239.052163$ а.е.м.

Найти:

Энергию связи ($E_{св}$) и удельную энергию связи ($E_{уд}$) для каждого ядра.

Решение:

Энергия связи ядра ($E_{св}$) — это энергия, которую необходимо затратить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны). Она равна произведению дефекта масс ($\Delta m$) на квадрат скорости света ($c^2$): $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$.

Дефект масс — это разность между суммарной массой нуклонов, составляющих ядро, и массой самого ядра. Для удобства расчетов будем использовать массы атомов. Формула для дефекта масс в этом случае: $\Delta m = Z \cdot m_{a}(_{1}^{1}\text{H}) + (A-Z) \cdot m_n - m_a(_{Z}^{A}\text{X})$, где $\text{Z}$ — число протонов (зарядовое число), $\text{A}$ — число нуклонов (массовое число), $m_{a}(_{1}^{1}\text{H})$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, $m_a(_{Z}^{A}\text{X})$ — масса данного атома.

Энергию связи в МэВ находим, умножая дефект масс в а.е.м. на 931.5 МэВ/а.е.м.: $E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ}$.

Удельная энергия связи ($E_{уд}$) — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон: $E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$.

а) Для ядра дейтерия $_{1}^{2}\text{H}$:

Число протонов $Z=1$, число нейтронов $N = 2-1 = 1$, массовое число $A=2$.

Дефект масс: $\Delta m = (1 \cdot 1.007825 + 1 \cdot 1.008665) - 2.014102 = 0.002388$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.002388 \cdot 931.5 \approx 2.224$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{2.224 \text{ МэВ}}{2} = 1.112$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 2.224$ МэВ, $E_{уд} = 1.112$ МэВ/нуклон.

б) Для ядра гелия $_{2}^{4}\text{He}$:

Число протонов $Z=2$, число нейтронов $N = 4-2 = 2$, массовое число $A=4$.

Дефект масс: $\Delta m = (2 \cdot 1.007825 + 2 \cdot 1.008665) - 4.002603 = 0.030377$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.030377 \cdot 931.5 \approx 28.30$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{28.30 \text{ МэВ}}{4} = 7.075$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 28.30$ МэВ, $E_{уд} = 7.075$ МэВ/нуклон.

в) Для ядра лития $_{3}^{6}\text{Li}$:

Число протонов $Z=3$, число нейтронов $N = 6-3 = 3$, массовое число $A=6$.

Дефект масс: $\Delta m = (3 \cdot 1.007825 + 3 \cdot 1.008665) - 6.015123 = 0.034347$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.034347 \cdot 931.5 \approx 32.00$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{32.00 \text{ МэВ}}{6} \approx 5.33$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 32.00$ МэВ, $E_{уд} \approx 5.33$ МэВ/нуклон.

г) Для ядра лития $_{3}^{7}\text{Li}$:

Число протонов $Z=3$, число нейтронов $N = 7-3 = 4$, массовое число $A=7$.

Дефект масс: $\Delta m = (3 \cdot 1.007825 + 4 \cdot 1.008665) - 7.016004 = 0.042131$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.042131 \cdot 931.5 \approx 39.24$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{39.24 \text{ МэВ}}{7} \approx 5.61$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 39.24$ МэВ, $E_{уд} \approx 5.61$ МэВ/нуклон.

д) Для ядра углерода $_{6}^{12}\text{C}$:

Число протонов $Z=6$, число нейтронов $N = 12-6 = 6$, массовое число $A=12$.

Дефект масс: $\Delta m = (6 \cdot 1.007825 + 6 \cdot 1.008665) - 12.000000 = 0.098940$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.098940 \cdot 931.5 \approx 92.16$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{92.16 \text{ МэВ}}{12} = 7.68$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 92.16$ МэВ, $E_{уд} = 7.68$ МэВ/нуклон.

е) Для ядра азота $_{7}^{15}\text{N}$:

Число протонов $Z=7$, число нейтронов $N = 15-7 = 8$, массовое число $A=15$.

Дефект масс: $\Delta m = (7 \cdot 1.007825 + 8 \cdot 1.008665) - 15.000109 = 0.123986$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.123986 \cdot 931.5 \approx 115.49$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{115.49 \text{ МэВ}}{15} \approx 7.70$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 115.49$ МэВ, $E_{уд} \approx 7.70$ МэВ/нуклон.

ж) Для ядра кислорода $_{8}^{16}\text{O}$:

Число протонов $Z=8$, число нейтронов $N = 16-8 = 8$, массовое число $A=16$.

Дефект масс: $\Delta m = (8 \cdot 1.007825 + 8 \cdot 1.008665) - 15.994915 = 0.137005$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.137005 \cdot 931.5 \approx 127.62$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{127.62 \text{ МэВ}}{16} \approx 7.98$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 127.62$ МэВ, $E_{уд} \approx 7.98$ МэВ/нуклон.

з) Для ядра алюминия $_{13}^{27}\text{Al}$:

Число протонов $Z=13$, число нейтронов $N = 27-13 = 14$, массовое число $A=27$.

Дефект масс: $\Delta m = (13 \cdot 1.007825 + 14 \cdot 1.008665) - 26.981539 = 0.241496$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 0.241496 \cdot 931.5 \approx 224.95$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{224.95 \text{ МэВ}}{27} \approx 8.33$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 224.95$ МэВ, $E_{уд} \approx 8.33$ МэВ/нуклон.

и) Для ядра урана $_{92}^{235}\text{U}$:

Число протонов $Z=92$, число нейтронов $N = 235-92 = 143$, массовое число $A=235$.

Дефект масс: $\Delta m = (92 \cdot 1.007825 + 143 \cdot 1.008665) - 235.043930 = 1.915465$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 1.915465 \cdot 931.5 \approx 1784.0$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{1784.0 \text{ МэВ}}{235} \approx 7.59$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 1784.0$ МэВ, $E_{уд} \approx 7.59$ МэВ/нуклон.

к) Для ядра плутония $_{94}^{239}\text{Pu}$:

Число протонов $Z=94$, число нейтронов $N = 239-94 = 145$, массовое число $A=239$.

Дефект масс: $\Delta m = (94 \cdot 1.007825 + 145 \cdot 1.008665) - 239.052163 = 1.939812$ а.е.м.

Энергия связи: $E_{св} = 1.939812 \cdot 931.5 \approx 1806.9$ МэВ.

Удельная энергия связи: $E_{уд} = \frac{1806.9 \text{ МэВ}}{239} \approx 7.56$ МэВ/нуклон.

Ответ: $E_{св} \approx 1806.9$ МэВ, $E_{уд} \approx 7.56$ МэВ/нуклон.