Номер 11.125, страница 224 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции. Энергетический выход ядерных реакций - номер 11.125, страница 224.

Условие.

11.125. Определите отношение удельных энергий связи трития и лёгкого изотопа гелия.

Решение.

Дано:

Изотоп водорода – тритий ($^3_1H$)

Изотоп гелия – гелий-3 ($^3_2He$)

Необходимые для расчета табличные значения масс:

Масса атома водорода ($^1_1H$): $m_{H} = 1.007825$ а.е.м.

Масса нейтрона: $m_{n} = 1.008665$ а.е.м.

Масса атома трития ($^3_1H$): $m_{T} = 3.016049$ а.е.м.

Масса атома гелия-3 ($^3_2He$): $m_{He} = 3.016029$ а.е.м.

Энергетический эквивалент массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Отношение удельных энергий связи трития и гелия-3: $\frac{\epsilon_T}{\epsilon_{He}}$

Решение:

Удельная энергия связи ($\epsilon$) — это энергия связи ядра ($E_{св}$), приходящаяся на один нуклон. Она вычисляется по формуле $\epsilon = \frac{E_{св}}{A}$, где $\text{A}$ — массовое число ядра.

Энергия связи, в свою очередь, определяется дефектом масс ($\Delta m$) по формуле Эйнштейна: $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$.

Дефект масс — это разность между суммарной массой нуклонов, составляющих ядро, и реальной массой ядра. При расчетах удобнее использовать массы атомов, чтобы массы электронов сократились: $\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_{атома}$, где $\text{Z}$ — число протонов, $\text{N}$ — число нейтронов, $m_H$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, $m_{атома}$ — масса данного атома.

Сначала рассчитаем удельную энергию связи для трития ($^3_1H$). Ядро трития состоит из 1 протона ($Z_T = 1$) и 2 нейтронов ($N_T = 2$), его массовое число $A_T = 3$.

Дефект масс трития:

$\Delta m_T = (Z_T \cdot m_H + N_T \cdot m_n) - m_T = (1 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 3.016049 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m_T = 3.025155 \text{ а.е.м.} - 3.016049 \text{ а.е.м.} = 0.009106 \text{ а.е.м.}$

Полная энергия связи трития:

$E_{св, T} = \Delta m_T \cdot c^2 = 0.009106 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 8.482 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи трития:

$\epsilon_T = \frac{E_{св, T}}{A_T} = \frac{8.482 \text{ МэВ}}{3} \approx 2.827 \text{ МэВ/нуклон}$.

Далее рассчитаем удельную энергию связи для гелия-3 ($^3_2He$). Ядро гелия-3 состоит из 2 протонов ($Z_{He} = 2$) и 1 нейтрона ($N_{He} = 1$), его массовое число $A_{He} = 3$.

Дефект масс гелия-3:

$\Delta m_{He} = (Z_{He} \cdot m_H + N_{He} \cdot m_n) - m_{He} = (2 \cdot 1.007825 \text{ а.е.м.} + 1 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 3.016029 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m_{He} = 3.024315 \text{ а.е.м.} - 3.016029 \text{ а.е.м.} = 0.008286 \text{ а.е.м.}$

Полная энергия связи гелия-3:

$E_{св, He} = \Delta m_{He} \cdot c^2 = 0.008286 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 7.718 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи гелия-3:

$\epsilon_{He} = \frac{E_{св, He}}{A_{He}} = \frac{7.718 \text{ МэВ}}{3} \approx 2.573 \text{ МэВ/нуклон}$.

Теперь найдем искомое отношение. Поскольку массовые числа обоих изотопов равны ($A_T = A_{He} = 3$), отношение их удельных энергий связи равно отношению их полных энергий связи, что, в свою очередь, равно отношению их дефектов масс:

$\frac{\epsilon_T}{\epsilon_{He}} = \frac{E_{св, T} / A_T}{E_{св, He} / A_{He}} = \frac{E_{св, T}}{E_{св, He}} = \frac{\Delta m_T}{\Delta m_{He}}$

$\frac{\epsilon_T}{\epsilon_{He}} = \frac{0.009106}{0.008286} \approx 1.099$

Ответ: отношение удельных энергий связи трития и лёгкого изотопа гелия составляет приблизительно $1.099$.