Задание 2, страница 47 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Постройте график зависимости мгновенной мощности переменного тока от времени на активном сопротивлении в пределах одного периода. Выполните задание путем перемножения значений силы тока и напряжения в соответствующие моменты на их графиках. Полученный результат сравните с рисунком 53.

Рис. 53. График зависимости мгновенной мощности переменного тока от времени

Для решения задачи необходимо построить график зависимости мгновенной мощности переменного тока от времени на активном сопротивлении. Это делается путем перемножения мгновенных значений силы тока и напряжения.

Дано:

Цепь переменного тока с активным сопротивлением $\text{R}$.
Мгновенная сила тока изменяется по гармоническому закону. Чтобы результат совпадал с графиком на рисунке 53, примем, что изменение происходит по закону косинуса: $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ - амплитуда силы тока, $\omega$ - циклическая частота.
На активном сопротивлении колебания напряжения совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому мгновенное напряжение: $u(t) = U_m \cos(\omega t)$, где $U_m$ - амплитуда напряжения.
Согласно закону Ома для амплитудных значений: $U_m = I_m R$.
Период колебаний: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Найти:

Построить график зависимости мгновенной мощности $p(t)$ от времени $\text{t}$ в пределах одного периода $\text{T}$ и сравнить его с рисунком 53.

Решение:

Мгновенная мощность $p(t)$ на участке цепи определяется как произведение мгновенного значения напряжения $u(t)$ на мгновенное значение силы тока $i(t)$.

$p(t) = u(t) \cdot i(t)$

Подставим выражения для $u(t)$ и $i(t)$:

$p(t) = (U_m \cos(\omega t)) \cdot (I_m \cos(\omega t)) = U_m I_m \cos^2(\omega t)$

Обозначим амплитуду мощности $P_m = U_m I_m$. Тогда $p(t) = P_m \cos^2(\omega t)$. Используя $U_m = I_m R$, получим $P_m = I_m^2 R$.

Теперь выполним задание, перемножая значения $i(t)$ и $u(t)$ в характерные моменты времени в пределах одного периода $\text{T}$.

• При $t=0$:
  $i(0) = I_m \cos(0) = I_m$
  $u(0) = U_m \cos(0) = U_m$
  $p(0) = I_m \cdot U_m = P_m$
• При $t = \frac{T}{4}$ (фаза $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}$):
  $i(T/4) = I_m \cos(\pi/2) = 0$
  $u(T/4) = U_m \cos(\pi/2) = 0$
  $p(T/4) = 0 \cdot 0 = 0$
• При $t = \frac{T}{2}$ (фаза $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2} = \pi$):
  $i(T/2) = I_m \cos(\pi) = -I_m$
  $u(T/2) = U_m \cos(\pi) = -U_m$
  $p(T/2) = (-I_m) \cdot (-U_m) = I_m U_m = P_m$
• При $t = \frac{3T}{4}$ (фаза $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4} = \frac{3\pi}{2}$):
  $i(3T/4) = I_m \cos(3\pi/2) = 0$
  $u(3T/4) = U_m \cos(3\pi/2) = 0$
  $p(3T/4) = 0 \cdot 0 = 0$
• При $t = T$ (фаза $\omega t = 2\pi$):
  $i(T) = I_m \cos(2\pi) = I_m$
  $u(T) = U_m \cos(2\pi) = U_m$
  $p(T) = I_m \cdot U_m = P_m$

Соединив полученные точки ($ (0, P_m), (T/4, 0), (T/2, P_m), (3T/4, 0), (T, P_m) $) плавной линией, мы получим график.

Сравнение с рисунком 53:
Полученные нами точки полностью соответствуют точкам на графике, представленном на рисунке 53. График мгновенной мощности представляет собой синусоиду (точнее, косинусоиду), смещенную вверх так, что она не принимает отрицательных значений. Мощность изменяется от 0 до максимального значения $P_m = U_m I_m$.

Важно отметить, что частота колебаний мощности в два раза больше частоты колебаний тока и напряжения. Период колебаний мощности $T_p = T/2$.

Также на рисунке 53 указана средняя мощность, которая равна $\frac{I_m^2 R}{2}$. Это можно показать, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

$p(t) = P_m \cos^2(\omega t) = P_m \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} = \frac{P_m}{2} + \frac{P_m}{2}\cos(2\omega t)$

Из этого выражения видно, что график мощности — это косинусоида с частотой $2\omega$, колеблющаяся около среднего значения $P_{ср} = \frac{P_m}{2}$. Так как $P_m = U_m I_m = (I_m R) I_m = I_m^2 R$, то средняя мощность равна $P_{ср} = \frac{I_m^2 R}{2}$, что и показано на рисунке.

Ответ: Построение графика путем перемножения мгновенных значений силы тока и напряжения в ключевых точках времени ($t=0, T/4, T/2, 3T/4, T$) дает результат, который полностью совпадает с графиком на рисунке 53. Мгновенная мощность на активном сопротивлении всегда неотрицательна и изменяется с удвоенной частотой по сравнению с частотой тока и напряжения, колеблясь от 0 до $P_m = U_m I_m$.