Номер 4, страница 44 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Чему равно полное сопротивление участка цепи, состоящего из катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления?

Решение

Полное сопротивление участка цепи переменного тока, состоящего из катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления (резистора), называется импедансом и обозначается буквой $\text{Z}$. Вопрос не уточняет тип соединения, но стандартно под такой формулировкой понимают последовательное соединение элементов (так называемый RLC-контур).

Импеданс в этом случае складывается из трех компонент:

1. Активное сопротивление ($\text{R}$): Это сопротивление резистора. Оно не зависит от частоты переменного тока и определяет ту часть энергии, которая необратимо превращается в тепло. Колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями тока.

2. Индуктивное сопротивление ($X_L$): Это реактивное сопротивление, создаваемое катушкой индуктивности. Оно возникает из-за ЭДС самоиндукции и препятствует изменению тока. Напряжение на катушке опережает ток по фазе на 90° (или $ \pi/2 $ радиан). Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и вычисляется по формуле:
$X_L = \omega L$,
где $\text{L}$ — индуктивность катушки в Генри (Гн), а $\omega$ — циклическая частота тока в радианах в секунду (рад/с). Циклическая частота связана с обычной частотой $\nu$ (в Гц) соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

3. Емкостное сопротивление ($X_C$): Это реактивное сопротивление, создаваемое конденсатором. Оно связано с процессом перезарядки конденсатора в цепи переменного тока. Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на 90° (или $ \pi/2 $ радиан). Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и вычисляется по формуле:
$X_C = \frac{1}{\omega C}$,
где $\text{C}$ — емкость конденсатора в Фарадах (Ф).

Так как индуктивное и емкостное сопротивления являются реактивными и вызывают сдвиги фаз напряжения в противоположные стороны относительно тока, их общее действие (полное реактивное сопротивление $\text{X}$) равно их разности: $X = X_L - X_C$.

Полное сопротивление цепи (импеданс $\text{Z}$) находится как геометрическая (векторная) сумма активного сопротивления $\text{R}$ и полного реактивного сопротивления $\text{X}$. На векторной диаграмме $\text{R}$ и $\text{X}$ являются катетами прямоугольного треугольника, а $\text{Z}$ — его гипотенузой. По теореме Пифагора, модуль импеданса равен:

$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Подставив в эту формулу выражения для $X_L$ и $X_C$, получим окончательную формулу для полного сопротивления участка цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

Ответ: Полное сопротивление (импеданс) участка цепи, состоящего из последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления, равно $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, где $\text{R}$ — активное сопротивление, $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление. Итоговая формула: $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.