Номер 4, страница 45 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. К генератору переменного тока с частотой $100 \text{ Гц}$ подключены катушка индуктивностью $0,5 \text{ Гн}$, конденсатор емкостью $4 \text{ мкФ}$ и резистор сопротивлением $54 \text{ Ом}$. Амплитуда силы тока в цепи $0,5 \text{ А}$. Определите амплитуду напряжения на генераторе. Ответ округлите до целого числа.

Дано:

Частота переменного тока, $f = 100$ Гц

Индуктивность катушки, $L = 0,5$ Гн

Емкость конденсатора, $C = 4$ мкФ

Сопротивление резистора, $R = 54$ Ом

Амплитуда силы тока, $I_m = 0,5$ А

Перевод в систему СИ:

$C = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Амплитуду напряжения на генераторе, $U_m$

Решение:

Задача описывает последовательный RLC-контур, подключенный к источнику переменного тока. Амплитуда напряжения на генераторе связана с амплитудой силы тока и полным сопротивлением цепи (импедансом) законом Ома для переменного тока:

$U_m = I_m \cdot Z$

где $\text{Z}$ – полное сопротивление цепи (импеданс), которое вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Здесь $\text{R}$ – активное сопротивление, $X_L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C$ – емкостное сопротивление.

Сначала найдем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 2 \pi f = 2 \cdot \pi \cdot 100 \text{ Гц} = 200 \pi \text{ рад/с}$

Теперь вычислим индуктивное и емкостное сопротивления.

Индуктивное сопротивление $X_L$:

$X_L = \omega L = 200 \pi \text{ рад/с} \cdot 0,5 \text{ Гн} = 100 \pi \text{ Ом} \approx 314,16 \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление $X_C$:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200 \pi \text{ рад/с} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{800 \pi \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = \frac{10^6}{800 \pi} \text{ Ом} = \frac{1250}{\pi} \text{ Ом} \approx 397,89 \text{ Ом}$

Теперь можем рассчитать полное сопротивление цепи $\text{Z}$:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{54^2 + (100 \pi - \frac{1250}{\pi})^2}$

$Z \approx \sqrt{54^2 + (314,16 - 397,89)^2} = \sqrt{2916 + (-83,73)^2}$

$Z \approx \sqrt{2916 + 7010,71} = \sqrt{9926,71} \approx 99,63 \text{ Ом}$

Наконец, найдем амплитуду напряжения на генераторе $U_m$:

$U_m = I_m \cdot Z \approx 0,5 \text{ А} \cdot 99,63 \text{ Ом} \approx 49,815 \text{ В}$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до целого числа.

$U_m \approx 50 \text{ В}$

Ответ: $\text{50}$