Задание 1, страница 46 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

На основе формулы (2) докажите, что мощность тока на активном сопротивлении равна: $P = \frac{I_m^2 R}{2}$.

Рекомендации:

Постройте график функции: $\frac{I_m^2}{2} \cos 2\omega t$.

Докажите, что в пределах периода сумма мгновенных значений этой функции равна нулю.

Для доказательства воспользуемся определением мгновенной и средней мощности в цепи переменного тока.

Дано:

Цепь с активным сопротивлением $\text{R}$.

Мгновенное значение силы тока изменяется по закону: $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ - амплитуда силы тока, $\omega$ - циклическая частота.

Найти:

Среднюю мощность $\text{P}$, выделяемую на сопротивлении.

Решение:

Мгновенная мощность, выделяемая на активном сопротивлении $\text{R}$, в любой момент времени $\text{t}$ равна произведению квадрата мгновенного значения силы тока на сопротивление (закон Джоуля-Ленца):

$p(t) = i(t)^2 R$

Подставим выражение для мгновенной силы тока $i(t) = I_m \cos(\omega t)$:

$p(t) = (I_m \cos(\omega t))^2 R = I_m^2 R \cos^2(\omega t)$

Предположительно, это выражение и есть "формула (2)", упомянутая в задании. Чтобы найти среднюю мощность $\text{P}$, которую показывают измерительные приборы, необходимо усреднить мгновенную мощность $p(t)$ за один период $T = 2\pi/\omega$.

Для упрощения усреднения используем тригонометрическую формулу понижения степени:

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

Применив эту формулу к выражению для мгновенной мощности, получим:

$p(t) = I_m^2 R \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{I_m^2 R}{2} + \frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t)$

Теперь найдем среднее значение этого выражения за период. Среднее значение суммы равно сумме средних значений:

$P = \langle p(t) \rangle = \left\langle \frac{I_m^2 R}{2} \right\rangle + \left\langle \frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t) \right\rangle$

Первое слагаемое, $\frac{I_m^2 R}{2}$, является постоянной величиной (константой), поэтому его среднее значение равно самому этому значению.

Рассмотрим второе слагаемое, следуя рекомендациям из задания.

Постройте график функции: $\frac{I_m^2}{2} \cos 2\omega t$.

График этой функции представляет собой косинусоиду, которая колеблется с удвоенной частотой $2\omega$ относительно оси времени $\text{t}$. Амплитуда этих колебаний равна $\frac{I_m^2}{2}$. За один период тока $T = 2\pi/\omega$ эта функция совершает два полных колебания.

Докажите, что в пределах периода сумма мгновенных значений этой функции равна нулю.

Утверждение о том, что "сумма мгновенных значений равна нулю", означает, что среднее значение функции за период равно нулю. Математически это доказывается вычислением интеграла от функции по периоду $\text{T}$.

$\langle \frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t) dt$

Вынесем константы за знак интеграла:

$\frac{I_m^2 R}{2T} \int_0^T \cos(2\omega t) dt = \frac{I_m^2 R}{2T} \left[ \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega} \right]_0^T = \frac{I_m^2 R}{4\omega T} (\sin(2\omega T) - \sin(0))$

Подставим значение периода $T = \frac{2\pi}{\omega}$:

$\frac{I_m^2 R}{4\omega T} (\sin(2\omega \cdot \frac{2\pi}{\omega}) - 0) = \frac{I_m^2 R}{4\omega T} \sin(4\pi) = \frac{I_m^2 R}{4\omega T} \cdot 0 = 0$

Таким образом, среднее значение переменной составляющей мощности за период равно нулю. Это справедливо для любой синусоидальной или косинусоидальной функции.

Теперь мы можем завершить вычисление средней мощности $\text{P}$:

$P = \frac{I_m^2 R}{2} + 0 = \frac{I_m^2 R}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Мощность тока на активном сопротивлении $\text{P}$ является средним значением мгновенной мощности $p(t) = I_m^2 R \cos^2(\omega t)$ за период. Разложив $p(t)$ на постоянную и переменную составляющие, $p(t) = \frac{I_m^2 R}{2} + \frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t)$, и усреднив, мы получаем, что среднее значение переменной составляющей $\frac{I_m^2 R}{2} \cos(2\omega t)$ равно нулю. Следовательно, средняя мощность равна постоянной составляющей: $P = \frac{I_m^2 R}{2}$.