Номер 3, страница 45 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3*. Постройте векторную диаграмму для участка цепи, изображенного на рисунке 51. Запишите закон Ома, определите полное сопротивление.

Рис. 51. Схема последовательной цепи переменного тока с активным, емкостным и индуктивным сопротивлением

Примечание: На рисунке 51 изображена схема с параллельным соединением резистора (R), конденсатора (C) и катушки индуктивности (L). Однако, в подписи к рисунку указано, что это "схема последовательной цепи". Так как в условии задачи требуется проанализировать цепь, "изображенную на рисунке", решение приводится для параллельного соединения элементов.

Построение векторной диаграммы

При параллельном соединении напряжение $\text{U}$ на всех элементах цепи одинаково. Поэтому вектор напряжения $\vec{U}$ используется в качестве опорного (базового) вектора, который обычно направляют горизонтально вдоль оси абсцисс. Общий ток в цепи $\text{I}$ является векторной суммой токов, протекающих через каждый элемент: $\vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_C} + \vec{I_L}$.

1. Вектор тока через резистор $\vec{I_R}$ совпадает по фазе с вектором напряжения $\vec{U}$. Его модуль равен $I_R = U/R$.

2. Вектор тока через конденсатор $\vec{I_C}$ опережает по фазе напряжение на $\pi/2$ (90°). Его направляют вертикально вверх. Модуль этого тока равен $I_C = U/X_C$, где $X_C = 1/(\omega C)$ - емкостное сопротивление.

3. Вектор тока через катушку индуктивности $\vec{I_L}$ отстает по фазе от напряжения на $\pi/2$ (90°). Его направляют вертикально вниз. Модуль этого тока равен $I_L = U/X_L$, где $X_L = \omega L$ - индуктивное сопротивление.

4. Общий ток $\vec{I}$ в цепи находится как векторная сумма токов $\vec{I_R}$, $\vec{I_C}$ и $\vec{I_L}$. Сначала складываются реактивные токи $\vec{I_C}$ и $\vec{I_L}$, которые направлены в противоположные стороны. Их сумма - это вектор с модулем $|I_C - I_L|$. Затем этот результирующий реактивный ток векторно складывается с активным током $\vec{I_R}$. Так как векторы активного и суммарного реактивного тока перпендикулярны, модуль общего тока $\text{I}$ находится по теореме Пифагора: $I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}$.

Ответ: Векторная диаграмма для параллельной RLC-цепи строится на основе общего вектора напряжения $\vec{U}$. Она представляет собой прямоугольный треугольник токов, где один катет — это вектор тока через резистор $\vec{I_R}$ (сонаправлен с $\vec{U}$), второй катет — это вектор разности токов через конденсатор и катушку $\vec{I_C} - \vec{I_L}$ (перпендикулярен $\vec{U}$), а гипотенуза — это вектор полного тока в цепи $\vec{I}$.

Запись закона Ома

Закон Ома для всей цепи переменного тока связывает действующие (или амплитудные) значения полного тока $\text{I}$ в неразветвленной части цепи, приложенного напряжения $\text{U}$ и полного сопротивления цепи $\text{Z}$ (импеданса).

Ответ: Закон Ома для данной цепи имеет вид: $I = \frac{U}{Z}$, где $\text{I}$ - полный ток в цепи, $\text{U}$ - напряжение на параллельном участке, $\text{Z}$ - полное сопротивление (импеданс) цепи.

Определение полного сопротивления

Полное сопротивление (импеданс) $\text{Z}$ для параллельной цепи можно определить из соотношения для модулей токов, которое следует из векторной диаграммы: $I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}$.

Подставим в это уравнение выражения для токов через каждый элемент: $I_R = U/R$, $I_C = U/X_C$, $I_L = U/X_L$, а также выражение для полного тока $I = U/Z$.

$\frac{U}{Z} = \sqrt{(\frac{U}{R})^2 + (\frac{U}{X_C} - \frac{U}{X_L})^2}$

Вынесем общий множитель $\text{U}$ из-под знака корня и сократим обе части уравнения на $\text{U}$:

$\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L})^2}$

Отсюда полное сопротивление $\text{Z}$ равно обратной величине полученного выражения. Эту величину $1/Z$ называют полной проводимостью $\text{Y}$.

$Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L})^2}}$

Подставляя формулы для реактивных сопротивлений $X_L = \omega L$ и $X_C = \frac{1}{\omega C}$, где $\omega$ — циклическая частота, получаем окончательное выражение.

Ответ: Полное сопротивление параллельной RLC-цепи определяется по формуле: $Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega C - \frac{1}{\omega L})^2}}$.