Задание 3, страница 47 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Выразите мощность тока:

1. через значение максимального напряжения на резисторе;

2. через действующие значения напряжения и силы тока.

1. через значение максимального напряжения на резисторе;

Решение

Мгновенная мощность переменного тока определяется произведением мгновенных значений напряжения $u(t)$ и силы тока $i(t)$:
$p(t) = u(t) \cdot i(t)$

Рассмотрим цепь, содержащую только резистор с сопротивлением $\text{R}$. Пусть напряжение на резисторе изменяется по синусоидальному закону:
$u(t) = U_m \sin(\omega t)$
где $U_m$ — максимальное (амплитудное) значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота.

По закону Ома для участка цепи, сила тока в резисторе также изменяется синусоидально и совпадает по фазе с напряжением:
$i(t) = \frac{u(t)}{R} = \frac{U_m}{R} \sin(\omega t)$

Тогда мгновенная мощность, выделяемая на резисторе, равна:
$p(t) = u(t) \cdot i(t) = (U_m \sin(\omega t)) \cdot \left(\frac{U_m}{R} \sin(\omega t)\right) = \frac{U_m^2}{R} \sin^2(\omega t)$

Мощность тока в цепи переменного тока, как правило, характеризуется средним значением за период $\text{T}$. Обозначим эту среднюю мощность $\text{P}$.
$P = \langle p(t) \rangle = \left\langle \frac{U_m^2}{R} \sin^2(\omega t) \right\rangle$

Величины $U_m$ и $\text{R}$ являются постоянными, поэтому их можно вынести за знак усреднения:
$P = \frac{U_m^2}{R} \langle \sin^2(\omega t) \rangle$

Среднее значение квадрата синуса за один период равно $\frac{1}{2}$. Это следует из тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Среднее значение $\cos(2\omega t)$ за период равно нулю, следовательно, $\langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}$.

Подставив это значение, получим выражение для мощности тока через максимальное напряжение:
$P = \frac{U_m^2}{R} \cdot \frac{1}{2} = \frac{U_m^2}{2R}$

Ответ: Мощность тока через значение максимального напряжения на резисторе выражается формулой $P = \frac{U_m^2}{2R}$, где $U_m$ — максимальное напряжение, а $\text{R}$ — сопротивление резистора.

2. через действующие значения напряжения и силы тока.

Решение

Из решения предыдущего пункта мы знаем, что средняя мощность переменного тока на резисторе может быть выражена через амплитудные значения напряжения $U_m$ и силы тока $I_m = U_m/R$:
$P = \frac{U_m I_m}{2}$

Для удобства расчетов в цепях переменного тока вводятся понятия действующих (или эффективных) значений напряжения и силы тока. Действующее значение переменного тока равно такому значению постоянного тока, который, протекая через то же сопротивление, за то же время выделит такое же количество теплоты.

Для синусоидального тока действующие значения $\text{U}$ и $\text{I}$ связаны с максимальными (амплитудными) значениями $U_m$ и $I_m$ следующими соотношениями:
$U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$
$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Преобразуем формулу для средней мощности, чтобы выразить ее через действующие значения:
$P = \frac{U_m I_m}{2} = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Заменяя каждое из отношений на соответствующее действующее значение, получаем:
$P = U \cdot I$

Таким образом, мощность переменного тока в цепи с активным сопротивлением равна произведению действующих значений напряжения и силы тока.

Ответ: Мощность тока через действующие значения напряжения и силы тока выражается как их произведение: $P = U \cdot I$.