Задание 4, страница 48 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

Рассмотрите и проанализируйте графики на рисунке 55.

Рис. 55. Графики зависимости силы тока, напряжения и мощности от времени на конденсаторе в пределах одного периода

На рисунке представлены графики зависимости силы тока $i(t)$, напряжения $u(t)$ и мгновенной мощности $p(t)$ от времени для конденсатора в цепи переменного тока. Проанализируем эти графики.

1. Идентификация графиков напряжения и силы тока

В цепи переменного тока с идеальным конденсатором колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $π/2$ радиан (или 90°). Проанализируем представленные графики, чтобы определить, какая кривая соответствует току, а какая — напряжению.

Красная кривая начинается при $t=0$ со своего максимального значения. Такое поведение описывается функцией косинуса: $f_{красная}(t) = A \cdot \cos(ωt)$, где $ω = 2π/T$ — циклическая частота.

Черная кривая при $t=0$ равна нулю и затем возрастает. Такое поведение описывается функцией синуса: $f_{черная}(t) = B \cdot \sin(ωt)$.

Используя тригонометрическое тождество $\cos(x) = \sin(x + π/2)$, мы можем записать уравнение для красной кривой как $f_{красная}(t) = A \cdot \sin(ωt + π/2)$.

Сравнивая фазы колебаний, видим, что фаза красной кривой ($ωt + π/2$) на $π/2$ больше фазы черной кривой ($ωt$). Это означает, что колебание, описываемое красной кривой, опережает по фазе колебание, описываемое черной кривой, на $π/2$.

Так как в конденсаторе ток опережает напряжение, то красная кривая представляет собой график силы тока $i(t)$, а черная кривая — график напряжения $u(t)$.

Их уравнения:

$i(t) = I_m \cos(ωt)$

$u(t) = U_m \sin(ωt)$

где $I_m$ и $U_m$ — амплитудные значения силы тока и напряжения.

Ответ: Красная кривая — это график зависимости силы тока от времени $i(t)$, так как она опережает по фазе на $π/2$ черную кривую, которая является графиком зависимости напряжения от времени $u(t)$.

2. Анализ графика мгновенной мощности

Мгновенная мощность $p(t)$ на конденсаторе в любой момент времени равна произведению мгновенных значений напряжения и силы тока: $p(t) = u(t) \cdot i(t)$.

Подставим выражения для $u(t)$ и $i(t)$:

$p(t) = (U_m \sin(ωt)) \cdot (I_m \cos(ωt))$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(α)\cos(α) = \sin(2α)$, получаем:

$p(t) = \frac{1}{2} U_m I_m \sin(2ωt) = P_m \sin(2ωt)$

где $P_m = \frac{U_m I_m}{2}$ — амплитуда колебаний мощности.

Из этого уравнения видно, что:

1. Мгновенная мощность $p(t)$ (синяя кривая) также изменяется по синусоидальному закону.

2. Частота колебаний мощности $2ω$ в два раза больше частоты колебаний тока и напряжения. Соответственно, период колебаний мощности $T_p = T/2$ в два раза меньше периода $\text{T}$ для тока и напряжения. Это наглядно видно на графике: за один период $\text{T}$ синяя кривая успевает совершить два полных колебания.

Ответ: Синяя кривая представляет собой мгновенную мощность $p(t)$, которая колеблется с удвоенной частотой по сравнению с током и напряжением. Ее зависимость от времени описывается формулой $p(t) = \frac{1}{2} U_m I_m \sin(2ωt)$.

3. Анализ процесса обмена энергией

Знак мгновенной мощности показывает направление потока энергии:

• Если $p(t) > 0$, конденсатор потребляет энергию из сети и запасает ее в своем электрическом поле.

• Если $p(t) < 0$, конденсатор отдает накопленную энергию обратно в сеть.

Рассмотрим четыре интервала в течение одного периода $\text{T}$:

1. Интервал от $\text{0}$ до $T/4$: Напряжение $\text{u}$ и ток $\text{i}$ положительны ($u>0, i>0$), поэтому мощность $p > 0$. Конденсатор заряжается, энергия его электрического поля растет.

2. Интервал от $T/4$ до $T/2$: Напряжение $\text{u}$ положительно, а ток $\text{i}$ отрицателен ($u>0, i<0$), поэтому мощность $p < 0$. Конденсатор разряжается, отдавая энергию обратно в сеть.

3. Интервал от $T/2$ до $3T/4$: Напряжение $\text{u}$ и ток $\text{i}$ отрицательны ($u<0, i<0$), поэтому мощность $p > 0$. Конденсатор снова заряжается (перезаряжается), но с обратной полярностью обкладок.

4. Интервал от $3T/4$ до $\text{T}$: Напряжение $\text{u}$ отрицательно, а ток $\text{i}$ положителен ($u<0, i>0$), поэтому мощность $p < 0$. Конденсатор вновь разряжается, возвращая энергию в сеть.

Ответ: Конденсатор периодически обменивается энергией с источником тока. В течение первой и третьей четвертей периода он запасает энергию, а в течение второй и четвертой четвертей периода — возвращает ее в цепь.

4. Средняя мощность

Средняя мощность (или активная мощность) за период — это среднее значение мгновенной мощности за один полный период колебаний тока и напряжения. Из графика видно, что площадь под кривой мощности $p(t)$ на участках, где она положительна, в точности равна площади над кривой на участках, где она отрицательна. Это означает, что за полный период среднее значение мощности равно нулю.

$P_{ср} = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) dt = \frac{1}{T} \int_0^T P_m \sin(2ωt) dt = 0$

Это подтверждает, что идеальный конденсатор является реактивным элементом: он не потребляет активную мощность и не рассеивает энергию (например, в виде тепла), а лишь обменивается реактивной энергией с источником.

Ответ: Средняя мощность, потребляемая идеальным конденсатором за период, равна нулю. Это означает, что конденсатор не совершает работы и не рассеивает энергию.