Номер 3, страница 50 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3*. Последовательно соединенные элементы $R, L, C$ подключены к источнику переменного напряжения $U = U_m \cos \omega t$, где $U_m = 179$ В. Сила тока в цепи максимальна при частоте $\nu = 10$ кГц.

а) Проанализируйте на основе закона Ома, при каком условии сила тока в цепи принимает максимальное значение.

б) Определите индуктивность цепи при $C = 0,05$ мкФ.

в) Постройте векторную диаграмму напряжений и тока, определите коэффициент мощности.

г) Определите мощность, выделяющуюся на активном сопротивлении $R = 50$ Ом.

Дано:

$U_m = 179$ В
$\nu = 10$ кГц (частота резонанса)
$C = 0,05$ мкФ
$R = 50$ Ом

$U_m = 179$ В
$\nu = 10 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^4$ Гц
$C = 0,05 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-8}$ Ф
$R = 50$ Ом

Найти:

а) Условие максимальной силы тока
б) $\text{L}$ - ?
в) Векторная диаграмма, $\cos\varphi$ - ?
г) $\text{P}$ - ?

Решение:

а) Закон Ома для цепи переменного тока связывает амплитудные значения силы тока $I_m$ и напряжения $U_m$ через полное сопротивление цепи $\text{Z}$: $I_m = \frac{U_m}{Z}$. Полное сопротивление (импеданс) для последовательной RLC-цепи определяется формулой: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, где $\text{R}$ – активное сопротивление, $X_L = \omega L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ – емкостное сопротивление. Здесь $\omega = 2\pi\nu$ – циклическая частота. Сила тока $I_m$ будет максимальной, когда знаменатель дроби, то есть полное сопротивление $\text{Z}$, будет минимальным. Так как $\text{R}$ является постоянной величиной, $\text{Z}$ будет минимальным, когда выражение $(X_L - X_C)^2$ будет равно своему минимально возможному значению, то есть нулю. Это происходит при условии $X_L - X_C = 0$, или $X_L = X_C$. Данное условие, равенство индуктивного и емкостного сопротивлений, называется условием резонанса напряжений. При резонансе полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: $Z_{min} = R$.

Ответ: Сила тока в цепи принимает максимальное значение при условии резонанса, когда индуктивное сопротивление равно емкостному: $X_L = X_C$.

б) В задаче указано, что сила тока максимальна при частоте $\nu = 10$ кГц. Это означает, что цепь находится в состоянии резонанса на этой частоте. Используем условие резонанса из пункта а): $X_L = X_C$ $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ Поскольку $\omega = 2\pi\nu$, получаем: $2\pi\nu L = \frac{1}{2\pi\nu C}$ Выразим из этого уравнения индуктивность $\text{L}$: $L = \frac{1}{(2\pi\nu)^2 C}$ Подставим числовые значения в системе СИ: $L = \frac{1}{(2 \cdot \pi \cdot 10^4 \text{ Гц})^2 \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^8 \text{ Гц}^2 \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = \frac{1}{20\pi^2} \approx \frac{1}{20 \cdot 9,87} \approx \frac{1}{197,4} \approx 0,00507$ Гн.

Ответ: Индуктивность цепи $L \approx 5,07$ мГн.

в) При построении векторной диаграммы для последовательной цепи за опорный вектор принимают вектор силы тока $\vec{I}$, так как ток одинаков для всех элементов. 1. Вектор напряжения на активном сопротивлении $\vec{U}_R$ совпадает по фазе с вектором тока $\vec{I}$. 2. Вектор напряжения на индуктивности $\vec{U}_L$ опережает ток по фазе на $90^\circ$ ($\pi/2$). 3. Вектор напряжения на емкости $\vec{U}_C$ отстает от тока по фазе на $90^\circ$ ($\pi/2$). Вектор полного напряжения $\vec{U}$ является геометрической суммой векторов $\vec{U}_R$, $\vec{U}_L$ и $\vec{U}_C$. В условиях резонанса (как в нашей задаче) $X_L = X_C$, следовательно, амплитуды напряжений на катушке и конденсаторе равны: $U_{Lm} = I_m X_L = I_m X_C = U_{Cm}$. Таким образом, векторы $\vec{U}_L$ и $\vec{U}_C$ равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Векторная диаграмма в этом случае выглядит так: вектор $\vec{I}$ и вектор $\vec{U}_R$ направлены горизонтально. Векторы $\vec{U}_L$ и $\vec{U}_C$ направлены вертикально вверх и вниз соответственно, и они взаимно компенсируются. Полное напряжение $\vec{U}$ равно вектору $\vec{U}_R$. Это означает, что сдвиг фаз $\varphi$ между полным напряжением и током равен нулю ($\varphi=0$). Коэффициент мощности определяется как $\cos\varphi$. $\cos\varphi = \cos(0) = 1$.

Ответ: На векторной диаграмме вектор полного напряжения совпадает по направлению с вектором тока. Сдвиг фаз между ними равен нулю. Коэффициент мощности $\cos\varphi = 1$.

г) Мощность, выделяющаяся на активном сопротивлении, называется активной мощностью. Её можно рассчитать по формуле: $P = I_{rms}^2 R$, где $I_{rms}$ - действующее (среднеквадратичное) значение силы тока. В условиях резонанса полное сопротивление цепи $Z = R$. Амплитудное значение силы тока: $I_m = \frac{U_m}{Z} = \frac{U_m}{R} = \frac{179 \text{ В}}{50 \text{ Ом}} = 3,58$ А. Действующее значение силы тока: $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{3,58 \text{ А}}{\sqrt{2}}$. Теперь рассчитаем мощность: $P = (\frac{3,58}{\sqrt{2}})^2 \cdot 50 = \frac{3,58^2}{2} \cdot 50 = 3,58^2 \cdot 25 \approx 12,8164 \cdot 25 \approx 320,41$ Вт. Альтернативный, более точный способ расчета: Мощность можно также найти через действующее значение напряжения $U_{rms}$: $P = \frac{U_{rms}^2}{R} \cos^2\varphi$. Поскольку при резонансе полное напряжение приложено к активному сопротивлению, а $\cos\varphi = 1$: $U_{rms} = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{179 \text{ В}}{\sqrt{2}}$. $P = \frac{U_{R,rms}^2}{R} = \frac{U_{rms}^2}{R} = \frac{(179/\sqrt{2})^2}{50} = \frac{179^2}{2 \cdot 50} = \frac{32041}{100} = 320,41$ Вт.

Ответ: Мощность, выделяющаяся на активном сопротивлении, равна $P = 320,41$ Вт.