Задание 2, страница 51 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Изобразите на одной координатной плоскости графики зависимости реактивных сопротивлений катушки индуктивностью $\text{L}$ и конденсатора емкостью $\text{C}$ от циклической частоты колебаний $\omega$. При каком значении циклической частоты значения реактивных сопротивлений примут равные значения?

Дано:

Катушка индуктивностью L

Конденсатор емкостью C

Циклическая частота колебаний $\omega$

Найти:

1. Изобразить на одной координатной плоскости графики зависимостей $X_L(\omega)$ и $X_C(\omega)$.

2. Найти значение циклической частоты $\omega$, при котором $X_L = X_C$.

Решение:

Реактивное сопротивление катушки индуктивности (индуктивное сопротивление) $X_L$ зависит от циклической частоты $\omega$ и индуктивности $\text{L}$ по формуле:

$X_L = \omega L$

Эта зависимость является прямой пропорциональностью. Графиком является прямая линия, выходящая из начала координат, с угловым коэффициентом, равным $\text{L}$.

Реактивное сопротивление конденсатора (емкостное сопротивление) $X_C$ зависит от циклической частоты $\omega$ и емкости $\text{C}$ по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Эта зависимость является обратной пропорциональностью. Графиком является гипербола, которая асимптотически приближается к осям координат. При $\omega \rightarrow 0$, $X_C \rightarrow \infty$, а при $\omega \rightarrow \infty$, $X_C \rightarrow 0$.

Изобразим эти зависимости на одной координатной плоскости, где по оси абсцисс отложена циклическая частота $\omega$, а по оси ординат — реактивное сопротивление $\text{X}$.

На графике видно, что кривые пересекаются в одной точке. В этой точке их значения равны. Найдем значение циклической частоты, соответствующее этой точке. Для этого приравняем выражения для индуктивного и емкостного сопротивлений:

$X_L = X_C$

$\omega L = \frac{1}{\omega C}$

Выразим из этого уравнения циклическую частоту $\omega$:

$\omega^2 L C = 1$

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$

$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Это значение частоты называется резонансной циклической частотой и обычно обозначается как $\omega_0$. При этой частоте в колебательном контуре наступает явление резонанса.

Ответ: Значения реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора принимают равные значения при циклической частоте, равной резонансной частоте $\omega_0$, которая определяется по формуле: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.