Задание 1, страница 51 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Докажите, что при резонансе закон Ома для цепи, состоящей из конденсатора, катушки индуктивности и активного сопротивления: $I_m = \frac{U_{mZ}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ примет вид: $I_m = \frac{U_m}{R}$.

Решение

Закон Ома для последовательной RLC-цепи (цепи, состоящей из конденсатора, катушки индуктивности и активного сопротивления) определяет амплитуду силы тока $I_m$ через амплитуду напряжения $U_{mZ}$ и полное сопротивление цепи (импеданс) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$. Формула имеет вид:

$I_m = \frac{U_{mZ}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$

Здесь $\text{R}$ — активное сопротивление, $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — ёмкостное сопротивление.

Резонанс в электрической цепи — это явление, при котором реактивная составляющая полного сопротивления цепи становится равной нулю. Для последовательной RLC-цепи это происходит, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Условие резонанса: $X_L = X_C$.

Следовательно, при резонансе разность $(X_L - X_C)$ равна нулю:

$X_L - X_C = 0$

Теперь подставим это условие в исходное уравнение для амплитуды тока:

$I_m = \frac{U_{mZ}}{\sqrt{R^2 + (0)^2}}$

Упрощая выражение в знаменателе, получаем:

$\sqrt{R^2 + 0} = \sqrt{R^2} = R$

Таким образом, формула для амплитуды тока при резонансе принимает вид:

$I_m = \frac{U_{mZ}}{R}$

Обозначение $U_{mZ}$ используется для амплитуды напряжения на всем участке цепи с импедансом Z. В данном случае это напряжение источника, которое обычно обозначают как $U_m$. Следовательно, мы можем записать:

$I_m = \frac{U_m}{R}$

Это и требовалось доказать. При резонансе полное сопротивление цепи минимально и равно её активному сопротивлению, а сила тока достигает максимального значения.

Ответ: Доказано, что при выполнении условия резонанса ($X_L = X_C$), исходная формула $I_m = \frac{U_{mZ}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ преобразуется к виду $I_m = \frac{U_m}{R}$.