Номер 4, страница 50 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора с активным сопротивлением $10 \text{ Ом}$ и катушки индуктивности с некоторым активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением $220 \text{ В}$. Определите тепловую мощность, выделяемую в катушке, если действующие напряжения на резисторе и катушке индуктивности соответственно равны $50 \text{ В}$ и $160 \text{ В}$.

Дано:

Активное сопротивление резистора, $R = 10 \text{ Ом}$

Действующее напряжение сети, $U = 220 \text{ В}$

Действующее напряжение на резисторе, $U_R = 50 \text{ В}$

Действующее напряжение на катушке, $U_L = 160 \text{ В}$

Найти:

Тепловую мощность, выделяемую в катушке, $P_L$

Решение:

Резистор и катушка индуктивности соединены последовательно, следовательно, действующее значение тока $\text{I}$ в цепи одинаково для всех элементов.

1. Найдем действующее значение тока в цепи, используя закон Ома для участка цепи с резистором:

$I = \frac{U_R}{R} = \frac{50 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 5 \text{ А}$

2. Катушка индуктивности обладает как индуктивным сопротивлением $X_L$, так и активным сопротивлением $\text{r}$. Тепловая мощность выделяется только на активном сопротивлении. Нам нужно найти эту мощность, $P_L$. Ее можно вычислить по формуле $P_L = I^2 \cdot r$ или $P_L = I \cdot U_r$, где $U_r$ — падение напряжения на активном сопротивлении катушки.

3. Для цепи переменного тока с последовательным соединением элементов напряжения складываются как векторы. Построим векторную диаграмму напряжений. Зададим горизонтальную ось в направлении вектора тока $\text{I}$.

• Напряжение на резисторе $U_R$ совпадает по фазе с током, его вектор направлен горизонтально.
• Напряжение на активном сопротивлении катушки $U_r$ также совпадает по фазе с током, его вектор направлен горизонтально.
• Напряжение на индуктивном сопротивлении катушки $U_{XL}$ опережает ток по фазе на 90°, его вектор направлен вертикально.

4. Полное напряжение на катушке $U_L$ является векторной суммой напряжений на ее активном ($U_r$) и индуктивном ($U_{XL}$) сопротивлениях. Так как эти векторы перпендикулярны, по теореме Пифагора:

$U_L^2 = U_r^2 + U_{XL}^2$ (1)

5. Общее напряжение в сети $\text{U}$ является векторной суммой напряжения на резисторе $U_R$ и напряжения на катушке $U_L$. Однако удобнее рассматривать его как векторную сумму всех активных и реактивных составляющих напряжений в цепи. Суммарное напряжение на всех активных сопротивлениях ($\text{R}$ и $\text{r}$) равно $U_R + U_r$ и направлено горизонтально. Напряжение на индуктивности $U_{XL}$ направлено вертикально. Тогда общее напряжение в сети $\text{U}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $(U_R + U_r)$ и $U_{XL}$:

$U^2 = (U_R + U_r)^2 + U_{XL}^2$ (2)

6. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $U_r$ и $U_{XL}$. Выразим $U_{XL}^2$ из первого уравнения и подставим во второе:

$U_{XL}^2 = U_L^2 - U_r^2$

$U^2 = (U_R + U_r)^2 + U_L^2 - U_r^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$U^2 = U_R^2 + 2 \cdot U_R \cdot U_r + U_r^2 + U_L^2 - U_r^2$

$U^2 = U_R^2 + 2 \cdot U_R \cdot U_r + U_L^2$

Выразим из этого уравнения искомое напряжение $U_r$:

$2 \cdot U_R \cdot U_r = U^2 - U_R^2 - U_L^2$

$U_r = \frac{U^2 - U_R^2 - U_L^2}{2 \cdot U_R}$

7. Подставим числовые значения:

$U_r = \frac{220^2 - 50^2 - 160^2}{2 \cdot 50} = \frac{48400 - 2500 - 25600}{100} = \frac{20300}{100} = 203 \text{ В}$

8. Теперь, зная напряжение на активном сопротивлении катушки $U_r$ и ток в цепи $\text{I}$, найдем тепловую мощность, выделяемую в катушке:

$P_L = I \cdot U_r = 5 \text{ А} \cdot 203 \text{ В} = 1015 \text{ Вт}$

Ответ: 1015 Вт.