Эксперимент, страница 52 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Соберите последовательную цепь, состоящую из генератора переменной частоты (4 В), резистора, катушки индуктивности (1 мГн) и конденсатора (1 мкФ). Параметры деталей цепи определяются диапазоном частот источника. Снимите осциллограмму с резистора и генератора сигнала переменной частоты. Напряжение, снятое с резистора, дает информацию об изменении силы тока в цепи, так как на резисторе напряжение и сила тока изменяются синфазно.

На рисунках 59 а, б, в изображены осциллограммы красного цвета, которые представляют сигнал, снятый с генератора переменной частоты, и желтого цвета – сигнал с резистора. На рисунке 59 г изображена осциллограмма напряжения, снятого с конденсатора в режиме резонанса.

а) Частота сигнала 2 кГц. Колебания силы тока опережают колебания напряжения. При низких частотах в цепи преобладает емкостное сопротивление

б) Частота сигнала 4,78 кГц. Индуктивное сопротивление равно емкостному, наблюдается резонанс. Колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе, амплитуда силы тока возрастает

в) Частота сигнала 7,2 кГц. Колебания напряжения опережают колебания силы тока. При высоких частотах в цепи преобладает индуктивное сопротивление

г) Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности в режиме резонанса составляет 10 В, что превышает входное напряжение

Рис. 59. Резонанс напряжений в последовательной цепи переменного тока

Дано:

Последовательный RLC-контур.
Амплитуда напряжения генератора: $U_m = 4$ В
Индуктивность катушки: $L = 1$ мГн
Ёмкость конденсатора: $C = 1$ мкФ
Данные из эксперимента:
Частота в случае (а): $f_a = 2$ кГц
Частота в случае (б) (резонанс): $f_{res, exp} = 4.78$ кГц
Частота в случае (в): $f_v = 7.2$ кГц
Амплитуда напряжения на конденсаторе (и катушке) в режиме резонанса: $U_{C, res} = U_{L, res} = 10$ В

Перевод в систему СИ:
$U_m = 4$ В
$L = 1 \cdot 10^{-3}$ Гн
$C = 1 \cdot 10^{-6}$ Ф
$f_a = 2 \cdot 10^3$ Гц
$f_{res, exp} = 4.78 \cdot 10^3$ Гц
$f_v = 7.2 \cdot 10^3$ Гц
$U_{C, res} = 10$ В

Найти:

Проанализировать и объяснить явления, наблюдаемые в эксперименте на различных частотах, и рассчитать параметры цепи: теоретическую резонансную частоту $f_{res, theory}$, сопротивление $\text{R}$ и добротность $\text{Q}$.

Решение:

В последовательной RLC-цепи полное сопротивление (импеданс) $\text{Z}$ и сдвиг фаз $\phi$ между напряжением и током зависят от частоты $\omega = 2\pi f$ переменного тока:
Импеданс: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
Сдвиг фаз: $\tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
где $\text{R}$ — активное сопротивление, $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление.

а) Частота сигнала 2 кГц. Колебания силы тока опережают колебания напряжения. При низких частотах в цепи преобладает емкостное сопротивление
Рассчитаем реактивные сопротивления для частоты $f_a = 2$ кГц:
Угловая частота: $\omega_a = 2\pi f_a = 2\pi \cdot 2000 \approx 12566$ рад/с.
Индуктивное сопротивление: $X_L = \omega_a L = 12566 \cdot 10^{-3} \approx 12.6$ Ом.
Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{\omega_a C} = \frac{1}{12566 \cdot 10^{-6}} \approx 79.6$ Ом.
Так как $X_C > X_L$, реактивное сопротивление цепи $X = X_L - X_C \approx 12.6 - 79.6 = -67$ Ом является отрицательным. Это означает, что цепь имеет емкостной характер.
Тангенс угла сдвига фаз $\tan\phi = \frac{X}{R}$ отрицателен, следовательно, угол $\phi < 0$. Это означает, что колебания напряжения отстают от колебаний силы тока (или ток опережает напряжение), что и показано на осциллограмме 59а.

Ответ: При частоте 2 кГц емкостное сопротивление ($X_C \approx 79.6$ Ом) значительно превышает индуктивное ($X_L \approx 12.6$ Ом), поэтому цепь ведет себя как емкостная, и ток опережает напряжение по фазе.

б) Частота сигнала 4,78 кГц. Индуктивное сопротивление равно емкостному, наблюдается резонанс. Колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе, амплитуда силы тока возрастает
Резонанс в последовательном RLC-контуре наступает, когда индуктивное и емкостное сопротивления равны: $X_L = X_C$. При этом полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: $Z = R$. Сила тока в цепи достигает максимального значения $I_{m, res} = U_m/R$. Сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю ($\phi = 0$).
Рассчитаем теоретическую резонансную частоту по формуле Томсона:
$f_{res, theory} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}}} \approx 5031$ Гц, или 5.03 кГц.
Экспериментальное значение $f_{res, exp} = 4.78$ кГц близко к теоретическому. Расхождение (около 5%) может быть вызвано погрешностью номиналов L и C, а также наличием собственного сопротивления катушки.

Ответ: На резонансной частоте (экспериментально 4.78 кГц) реактивные сопротивления $X_L$ и $X_C$ компенсируют друг друга, импеданс цепи минимален ($Z=R$), ток максимален и совпадает по фазе с напряжением.

в) Частота сигнала 7,2 кГц. Колебания напряжения опережают колебания силы тока. При высоких частотах в цепи преобладает индуктивное сопротивление
Рассчитаем реактивные сопротивления для частоты $f_v = 7.2$ кГц:
Угловая частота: $\omega_v = 2\pi f_v = 2\pi \cdot 7200 \approx 45239$ рад/с.
Индуктивное сопротивление: $X_L = \omega_v L = 45239 \cdot 10^{-3} \approx 45.2$ Ом.
Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{\omega_v C} = \frac{1}{45239 \cdot 10^{-6}} \approx 22.1$ Ом.
Так как $X_L > X_C$, реактивное сопротивление цепи $X = X_L - X_C \approx 45.2 - 22.1 = 23.1$ Ом является положительным. Это означает, что цепь имеет индуктивный характер.
Тангенс угла сдвига фаз $\tan\phi = \frac{X}{R}$ положителен, следовательно, угол $\phi > 0$. Это означает, что колебания напряжения опережают колебания силы тока, что и показано на осциллограмме 59в.

Ответ: При частоте 7.2 кГц индуктивное сопротивление ($X_L \approx 45.2$ Ом) превышает емкостное ($X_C \approx 22.1$ Ом), поэтому цепь ведет себя как индуктивная, и напряжение опережает ток по фазе.

г) Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности в режиме резонанса составляет 10 В, что превышает входное напряжение
Это явление называется резонансом напряжений. Добротность контура $\text{Q}$ показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах (катушке или конденсаторе) при резонансе превышает напряжение источника.
$Q = \frac{U_{C, res}}{U_m} = \frac{U_{L, res}}{U_m}$
Из данных эксперимента: $Q = \frac{10 \text{ В}}{4 \text{ В}} = 2.5$.
Добротность также связана с параметрами контура: $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$. Отсюда можно найти активное сопротивление цепи $\text{R}$:
$R = \frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{2.5}\sqrt{\frac{10^{-3}}{10^{-6}}} = \frac{1}{2.5}\sqrt{1000} \approx \frac{31.62}{2.5} \approx 12.65$ Ом.
При резонансе напряжения на катушке и конденсаторе равны по амплитуде ($U_{L, res} = U_{C, res}$) и находятся в противофазе (сдвиг фаз 180°), поэтому их сумма в любой момент времени равна нулю. Входное напряжение при этом полностью падает на активном сопротивлении.

Ответ: Высокое напряжение (10 В) на реактивных элементах при низком входном напряжении (4 В) объясняется явлением резонанса напряжений и характеризуется добротностью контура $Q=2.5$. Активное сопротивление цепи составляет примерно $R \approx 12.65$ Ом.