Номер 2, страница 54 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Реостат с активным сопротивлением $R = 100 \, \Omega$, катушка с индуктивностью $L = 5 \, \text{мГн}$ и конденсатор емкостью $C = 0.05 \, \mu\text{Ф}$ соединены последовательно. Вычислите резонансную частоту, максимальные значения напряжения на конденсаторе и катушке при резонансной частоте. Действующее значение напряжения, приложенного к цепи, $U = 10 \, \text{В}$.

Дано:

$R = 100$ Ом

$L = 5$ мГн

$C = 0,05$ мкФ

$U = 10$ В (действующее значение)

Перевод в систему СИ:

$L = 5 \times 10^{-3}$ Гн

$C = 0,05 \times 10^{-6}$ Ф $= 5 \times 10^{-8}$ Ф

Найти:

$f_0$ — резонансная частота

$U_{C,max}$ — максимальное значение напряжения на конденсаторе

$U_{L,max}$ — максимальное значение напряжения на катушке

Решение:

1. Резонансная частота

Резонанс в последовательном RLC-контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно емкостному сопротивлению $X_C$. Резонансная угловая (циклическая) частота $\omega_0$ определяется по формуле Томсона:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим значения индуктивности $\text{L}$ и емкости $\text{C}$ в СИ:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 5 \times 10^{-8} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-11} \text{ с}^2}} = \frac{1}{\sqrt{2.5 \times 10^{-10} \text{ с}^2}} \approx 63246$ рад/с.

Линейная резонансная частота $f_0$ связана с угловой частотой $\omega_0$ соотношением $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$.

$f_0 = \frac{63246 \text{ рад/с}}{2\pi} \approx \frac{63246}{2 \cdot 3,14159} \approx 10066$ Гц $\approx 10,07$ кГц.

Ответ: Резонансная частота $f_0 \approx 10,07$ кГц.

2. Максимальные значения напряжения на конденсаторе и катушке

При резонансе полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ минимально и равно активному сопротивлению $\text{R}$:

$Z = R = 100$ Ом.

Действующее (среднеквадратичное) значение тока в цепи $\text{I}$ определяется по закону Ома для всей цепи, используя действующее значение напряжения $\text{U}$:

$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{10 \text{ В}}{100 \text{ Ом}} = 0,1$ А.

Максимальное (амплитудное) значение тока $I_{max}$ связано с действующим значением $\text{I}$ соотношением $I_{max} = I \sqrt{2}$.

$I_{max} = 0,1 \sqrt{2}$ А.

Теперь найдем реактивные сопротивления на резонансной частоте. Индуктивное сопротивление:

$X_L = \omega_0 L = 63246 \text{ рад/с} \cdot 5 \times 10^{-3} \text{ Гн} \approx 316,23$ Ом.

При резонансе емкостное сопротивление равно индуктивному:

$X_C = X_L \approx 316,23$ Ом.

Максимальные значения напряжения на катушке $U_{L,max}$ и на конденсаторе $U_{C,max}$ находим, умножая максимальное значение тока $I_{max}$ на соответствующие реактивные сопротивления:

$U_{L,max} = I_{max} \cdot X_L = (0,1 \sqrt{2} \text{ А}) \cdot (316,23 \text{ Ом}) \approx 44,72$ В.

$U_{C,max} = I_{max} \cdot X_C = (0,1 \sqrt{2} \text{ А}) \cdot (316,23 \text{ Ом}) \approx 44,72$ В.

Для более точного расчета можно использовать выражение $U_{L,max} = U_{C,max} = I_{max} \sqrt{\frac{L}{C}}$:

$U_{L,max} = U_{C,max} = \frac{U}{R}\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{10}{100}\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-8}}} = 0,1\sqrt{2} \cdot \sqrt{10^5} = 0,1\sqrt{2} \cdot 100\sqrt{10} = 10\sqrt{20} = 20\sqrt{5} \approx 44,72$ В.

Ответ: Максимальное значение напряжения на конденсаторе $U_{C,max} \approx 44,7$ В; максимальное значение напряжения на катушке $U_{L,max} \approx 44,7$ В.