Номер 4, страница 54 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора, сопротивление которого $R = 10 \text{ Ом}$, катушки с индуктивностью $L = 100 \text{ мкГн}$ и конденсатора с емкостью $C = 100 \text{ пФ}$. Определите резонансную частоту и добротность цепи. Чему равны сила тока $ ext{I}$, мощность тока $ ext{P}$, напряжения на индуктивной катушке $U_L$ и конденсаторе $U_C$ при резонансе, если общее напряжение цепи $U = 1 \text{ В}$?

Дано:

Сопротивление резистора: $R = 10$ Ом

Индуктивность катушки: $L = 100$ мкГн

Емкость конденсатора: $C = 100$ пФ

Общее напряжение цепи: $U = 1$ В

Перевод в систему СИ:

$L = 100 \text{ мкГн} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-4} \text{ Гн}$

$C = 100 \text{ пФ} = 100 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 10^{-10} \text{ Ф}$

Найти:

Резонансную частоту $f_0$

Добротность цепи $\text{Q}$

Силу тока при резонансе $\text{I}$

Мощность тока при резонансе $\text{P}$

Напряжение на индуктивной катушке при резонансе $U_L$

Напряжение на конденсаторе при резонансе $U_C$

Решение:

Резонансная частота

Резонанс в последовательном колебательном контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно емкостному сопротивлению $X_C$. Резонансная угловая частота $\omega_0$ определяется по формуле Томсона:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим значения:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{10^{-4} \text{ Гн} \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-14} \text{ с}^2}} = 10^7$ рад/с

Линейная резонансная частота $f_0$ связана с угловой частотой соотношением $\omega_0 = 2\pi f_0$.

$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{10^7}{2\pi} \approx 1.59 \cdot 10^6$ Гц = 1.59 МГц.

Ответ: Резонансная частота $f_0 \approx 1.59$ МГц (или угловая частота $\omega_0 = 10^7$ рад/с).

Добротность цепи

Добротность $\text{Q}$ последовательного колебательного контура показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах (катушке или конденсаторе) при резонансе превышает напряжение на входе контура. Она рассчитывается по формуле:

$Q = \frac{\rho}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

где $\rho = \sqrt{\frac{L}{C}}$ - волновое сопротивление контура.

$\rho = \sqrt{\frac{10^{-4} \text{ Гн}}{10^{-10} \text{ Ф}}} = \sqrt{10^6 \text{ Ом}^2} = 1000$ Ом

$Q = \frac{1000 \text{ Ом}}{10 \text{ Ом}} = 100$

Также можно рассчитать через резонансную частоту:

$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{10^7 \text{ рад/с} \cdot 10^{-4} \text{ Гн}}{10 \text{ Ом}} = \frac{1000 \text{ Ом}}{10 \text{ Ом}} = 100$

Ответ: Добротность цепи $Q = 100$.

Сила тока I

В режиме резонанса полное сопротивление цепи $\text{Z}$ минимально и равно активному сопротивлению $\text{R}$, так как реактивные сопротивления катушки и конденсатора компенсируют друг друга ($X_L = X_C$).

$Z_{res} = R = 10$ Ом

Сила тока в цепи при резонансе определяется по закону Ома и достигает максимального значения:

$I = \frac{U}{Z_{res}} = \frac{U}{R}$

$I = \frac{1 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 0.1$ А

Ответ: Сила тока при резонансе $I = 0.1$ А.

Мощность тока P

Мощность, выделяемая в цепи, является активной мощностью, которая рассеивается только на резисторе.

$P = I^2 R$

Подставим значения для режима резонанса:

$P = (0.1 \text{ А})^2 \cdot 10 \text{ Ом} = 0.01 \text{ А}^2 \cdot 10 \text{ Ом} = 0.1$ Вт

Также мощность можно найти как $P = U \cdot I$, так как при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю ($\cos\phi = 1$).

$P = 1 \text{ В} \cdot 0.1 \text{ А} = 0.1$ Вт

Ответ: Мощность тока при резонансе $P = 0.1$ Вт.

Напряжения на индуктивной катушке $U_L$ и конденсаторе $U_C$

Напряжение на индуктивной катушке при резонансе:

$U_L = I \cdot X_L = I \cdot \omega_0 L$

$U_L = 0.1 \text{ А} \cdot (10^7 \text{ рад/с} \cdot 10^{-4} \text{ Гн}) = 0.1 \text{ А} \cdot 1000 \text{ Ом} = 100$ В

Напряжение на конденсаторе при резонансе:

$U_C = I \cdot X_C = I \cdot \frac{1}{\omega_0 C}$

$U_C = 0.1 \text{ А} \cdot \frac{1}{10^7 \text{ рад/с} \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 0.1 \text{ А} \cdot 1000 \text{ Ом} = 100$ В

Как и ожидалось, при резонансе $U_L = U_C$. Эти напряжения также можно найти через добротность:

$U_L = U_C = Q \cdot U = 100 \cdot 1 \text{ В} = 100$ В

Ответ: Напряжение на индуктивной катушке $U_L = 100$ В, напряжение на конденсаторе $U_C = 100$ В.