Номер 3, страница 54 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Как найти резонансную частоту?

Резонансная частота — это частота, при которой колебательная система проявляет максимальный отклик (например, максимальную амплитуду колебаний) на внешнее периодическое воздействие. Метод нахождения резонансной частоты зависит от типа рассматриваемой системы.

Механические колебательные системы

В механических системах с малым затуханием резонансная частота практически совпадает с собственной (натуральной) частотой свободных колебаний системы.

1. Пружинный маятник (груз на пружине)
Для системы, состоящей из груза массой $\text{m}$ и пружины жесткостью $\text{k}$, резонансная (собственная) циклическая частота $\omega_0$ и линейная частота $f_0$ определяются следующими формулами:
Циклическая частота: $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (измеряется в радианах в секунду).
Линейная частота: $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ (измеряется в Герцах).

2. Математический маятник
Для материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити длиной $\text{l}$, в поле тяготения с ускорением свободного падения $\text{g}$ (при условии малых колебаний) формулы для частот имеют вид:
Циклическая частота: $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$
Линейная частота: $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Электрические колебательные системы (RLC-контур)

В электротехнике классическим примером является колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных резистора ($\text{R}$), катушки индуктивности ($\text{L}$) и конденсатора ($\text{C}$). Резонанс в такой цепи наступает, когда частота внешнего переменного напряжения становится такой, что реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по величине и противоположны по фазе, вследствие чего они полностью компенсируют друг друга.

Условие резонанса в RLC-контуре — это равенство индуктивного ($X_L$) и емкостного ($X_C$) сопротивлений:
$X_L = X_C$

Решение

Чтобы найти резонансную частоту, нужно решить это уравнение. Индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты $\omega = 2\pi f$ следующим образом:
$X_L = \omega L$
$X_C = \frac{1}{\omega C}$
Подставим эти выражения в условие резонанса (используя $\omega_0$ для обозначения резонансной циклической частоты):
$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$
Теперь выразим из этого уравнения $\omega_0$:
$\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Это формула для резонансной циклической (угловой) частоты.

Для нахождения линейной резонансной частоты $f_0$ (в Герцах), используем связь $\omega_0 = 2\pi f_0$:
$2\pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Отсюда получаем знаменитую формулу Томсона:
$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
где:
$f_0$ — резонансная частота в Герцах (Гц);
$\text{L}$ — индуктивность катушки в Генри (Гн);
$\text{C}$ — ёмкость конденсатора в Фарадах (Ф).

Ответ: Чтобы найти резонансную частоту, нужно знать параметры колебательной системы и использовать соответствующую формулу. Для электрического RLC-контура резонансная частота $f_0$ вычисляется по формуле Томсона: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, где $\text{L}$ – индуктивность, а $\text{C}$ – ёмкость. Для механической системы "груз на пружине" резонансная частота равна $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\text{m}$ – масса груза.