Номер 3, страница 54 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Катушка с активным сопротивлением $R = 2$ Ом и индуктивностью $L = 75$ мГн включена последовательно с конденсатором переменной емкости в сеть с действующим напряжением $U = 50$ В и частотой $\nu = 50$ Гц. Определите емкость конденсатора $ ext{C}$ при резонансе напряжений и значения напряжений на катушке $U_L$ и конденсаторе $U_C$ в этот момент.

Дано:

$R = 2$ Ом

$L = 75$ мГн

$U = 50$ В

$\nu = 50$ Гц

$L = 75 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0.075 \text{ Гн}$

Найти:

$C, U_L, U_C$

Решение:

Резонанс напряжений в последовательном RLC-контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно емкостному сопротивлению $X_C$.

$X_L = X_C$

Сначала найдем циклическую частоту $\omega$ переменного тока:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \text{ рад/с} \approx 314.16 \text{ рад/с}$

Теперь вычислим индуктивное сопротивление катушки $X_L$:

$X_L = \omega L = 100\pi \cdot 0.075 = 7.5\pi \text{ Ом} \approx 23.56 \text{ Ом}$

В момент резонанса емкостное сопротивление равно индуктивному:

$X_C = X_L = 7.5\pi \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление определяется формулой $X_C = \frac{1}{\omega C}$. Отсюда мы можем выразить и найти емкость конденсатора $\text{C}$:

$C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{\omega (\omega L)} = \frac{1}{\omega^2 L}$

$C = \frac{1}{(100\pi)^2 \cdot 0.075} = \frac{1}{10000\pi^2 \cdot 0.075} = \frac{1}{750\pi^2} \approx \frac{1}{750 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{7402.5} \approx 1.35 \cdot 10^{-4} \text{ Ф} = 135 \text{ мкФ}$

При резонансе напряжений полное сопротивление цепи $\text{Z}$ минимально и равно активному сопротивлению $\text{R}$, так как реактивная составляющая $(X_L - X_C)$ равна нулю.

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0^2} = R = 2 \text{ Ом}$

Действующее значение тока в цепи по закону Ома для всей цепи:

$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{50 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 25 \text{ А}$

Теперь можем найти напряжение на конденсаторе $U_C$:

$U_C = I \cdot X_C = 25 \text{ А} \cdot 7.5\pi \text{ Ом} = 187.5\pi \text{ В} \approx 589 \text{ В}$

Напряжение на катушке $U_L$ нужно вычислять с учетом ее активного сопротивления $\text{R}$. Полное сопротивление катушки $Z_L$ (не путать с индуктивным сопротивлением $X_L$) равно:

$Z_L = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{2^2 + (7.5\pi)^2} = \sqrt{4 + 56.25\pi^2} \approx \sqrt{4 + 555.18} = \sqrt{559.18} \approx 23.65 \text{ Ом}$

Тогда напряжение на катушке равно:

$U_L = I \cdot Z_L = 25 \text{ А} \cdot 23.65 \text{ Ом} \approx 591.25 \text{ В}$

Ответ: емкость конденсатора $C \approx 135$ мкФ, напряжение на катушке $U_L \approx 591$ В, напряжение на конденсаторе $U_C \approx 589$ В.