Номер 10, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Какие углы называются вертикальными и какие их свойства вы знаете?

Какие углы называются вертикальными

Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Эти углы образуются при пересечении двух прямых. При пересечении двух прямых всегда образуются две пары вертикальных углов.

Представим две прямые, которые пересекаются в одной точке. В результате образуется четыре угла. Углы, которые расположены друг напротив друга относительно точки пересечения, и являются вертикальными. Например, если при пересечении прямых a и b в точке O образовались углы $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$ (расположенные по порядку вокруг точки O), то пары вертикальных углов будут ($\angle 1$, $\angle 3$) и ($\angle 2$, $\angle 4$).

Ответ: Вертикальные углы — это пары углов, образующихся при пересечении двух прямых, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

и какие их свойства вы знаете

Основное свойство вертикальных углов, которое является теоремой в геометрии, заключается в их равенстве.

Теорема о вертикальных углах: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Рассмотрим две прямые, пересекающиеся и образующие четыре угла: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Пары вертикальных углов — это $\angle 1$ и $\angle 3$, а также $\angle 2$ и $\angle 4$.

Угол $\angle 1$ и угол $\angle 2$ являются смежными, так как у них одна сторона общая, а две другие образуют прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Аналогично, углы $\angle 2$ и $\angle 3$ также являются смежными. Для них справедливо равенство: $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

Поскольку левые части обоих уравнений равны $180^\circ$, мы можем их приравнять: $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$.

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства величину угла $\angle 2$: $\angle 1 = \angle 3$.

Это доказывает, что первая пара вертикальных углов равна. Точно так же можно доказать и равенство второй пары. Рассматривая смежные углы $\angle 3$ и $\angle 4$, получаем $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$. Сравнивая с равенством $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$, приходим к выводу, что $\angle 2 = \angle 4$. Теорема доказана.

Ответ: Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они всегда равны друг другу.