Номер 15, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Какие свойства параллельных прямых вы знаете (параллельные третьей прямой)?

Параллельные прямые в евклидовой геометрии обладают несколькими важными свойствами. Ключевое свойство, на которое указывает уточнение в скобках, — это свойство транзитивности.

Свойство прямых, параллельных третьей прямой (транзитивность)

Это свойство формулируется как теорема (или аксиома, в зависимости от построения геометрии): две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Если даны три прямые $a$, $b$ и $c$, и известно, что прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$), и прямая $b$ параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$), то из этого следует, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Это свойство справедливо как для прямых, лежащих в одной плоскости, так и для прямых в пространстве.

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Свойства углов при пересечении параллельных прямых секущей

Когда две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, называемой секущей, образуется несколько пар углов с особыми свойствами:

1. Накрест лежащие углы равны. Это пары углов, расположенных по разные стороны от секущей и между параллельными прямыми.

2. Соответственные углы равны. Это пары углов, расположенных одинаково относительно параллельных прямых и секущей.

3. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Это пары углов, расположенных по одну сторону от секущей и между параллельными прямыми. Если $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ — односторонние углы, то $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $.

Важно отметить, что эти свойства являются и признаками параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из этих равенств (или условие на сумму), то прямые параллельны.

Ответ: При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Другие фундаментальные свойства

1. Расстояние между параллельными прямыми. Все точки одной из параллельных прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой. Это расстояние постоянно по всей длине прямых.

2. Аксиома параллельных прямых (Пятый постулат Евклида). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Ответ: Расстояние между параллельными прямыми постоянно, и через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.