Номер 20, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Что такое прямоугольный треугольник? Какие его свойства вы знаете?

Что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть его градусная мера составляет $90^\circ$.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен $90^\circ$.

Какие его свойства вы знаете?

Основные свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Если острые углы обозначить как $\alpha$ и $\beta$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$.
2. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (c) равен сумме квадратов длин катетов (a и b). Формула: $a^2 + b^2 = c^2$.
3. Катет, лежащий против угла в 30°. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.
4. Медиана к гипотенузе. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы ($m_c = c/2$). Также, центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы ($R = c/2$).
5. Площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Также ее можно найти через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.
6. Тригонометрические соотношения. Синус, косинус и тангенс острого угла $\alpha$ определяются как отношения длин сторон:
   • $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
   • $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
   • $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$
7. Метрические соотношения (свойства высоты). Высота ($h_c$), проведенная из прямого угла к гипотенузе, связана со сторонами следующими соотношениями:
   • Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.
   • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.

Ответ: Ключевые свойства прямоугольного треугольника включают теорему Пифагора, правило о сумме острых углов ($90^\circ$), свойство угла в $30^\circ$, свойство медианы к гипотенузе, а также формулы для вычисления площади, определения тригонометрических функций и метрические соотношения.