Номер 26, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Как построить биссектрису угла?

26. Построение биссектрисы произвольного угла с помощью циркуля и линейки без делений выполняется следующим образом. Пусть дан угол с вершиной в точке $O$.

1. Установив ножку циркуля в вершину угла $O$, проведём дугу произвольного радиуса $R$ так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $A$ и $B$.
2. Теперь установим ножку циркуля в точку $A$ и проведём дугу радиуса $r$ внутри угла.
3. Не изменяя радиус циркуля ($r$), установим его ножку в точку $B$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как $M$. Радиус $r$ должен быть достаточно большим, чтобы дуги пересеклись (например, можно взять $r > \frac{1}{2}AB$). Часто для удобства радиус $r$ берут равным исходному радиусу $R$.
4. С помощью линейки проведём луч из вершины $O$ через точку $M$.

Полученный луч $OM$ является биссектрисой исходного угла.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• $OA = OB$, так как обе точки лежат на одной окружности с центром в $O$ (по построению из шага 1).
• $AM = BM$, так как эти отрезки являются радиусами равных окружностей, построенных из точек $A$ и $B$ (по построению из шагов 2 и 3).
• Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle AOM = \angle BOM$. Это по определению означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$.

Ответ: Чтобы построить биссектрису угла, нужно с помощью циркуля и линейки выполнить последовательность действий, приводящую к построению луча, который делит исходный угол на два равных угла, как описано в алгоритме и доказательстве выше.