Номер 28, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Как построить перпендикуляр, опущенный из точки на данную прямую?

Чтобы построить перпендикуляр, опущенный из точки на данную прямую (используя циркуль и линейку), необходимо выполнить следующие шаги. Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не лежащая на этой прямой.

1. Установите острие циркуля в точку $P$.

2. Начертите дугу окружности с центром в точке $P$ и таким радиусом, чтобы эта дуга пересекла прямую $l$ в двух разных точках. Обозначим эти точки пересечения как $A$ и $B$.

3. Далее, установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу. Затем, с тем же раствором циркуля, установите острие в точку $B$ и начертите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как $Q$. Для построения достаточно, чтобы радиус этих дуг был больше половины длины отрезка $AB$.

4. С помощью линейки проведите прямую через исходную точку $P$ и точку пересечения дуг $Q$. Полученная прямая $PQ$ является перпендикуляром к прямой $l$, опущенным из точки $P$.

Обоснование:

По построению, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$, так как отрезки $PA$ и $PB$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в $P$. Таким образом, $PA = PB$. Аналогично, точка $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$, так как $QA = QB$ (по построению дуг из точек $A$ и $B$ с одинаковым радиусом). Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка ($A$ и $B$), образует его серединный перпендикуляр. Поскольку обе точки, $P$ и $Q$, удовлетворяют этому свойству, прямая, проходящая через них, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. А так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то прямая $PQ$ перпендикулярна прямой $l$, что и требовалось построить ($PQ \perp l$).

Ответ: Для построения перпендикуляра из точки $P$ на прямую $l$ необходимо: 1) из точки $P$ провести дугу, пересекающую прямую $l$ в двух точках ($A$ и $B$); 2) из точек $A$ и $B$ провести две пересекающиеся дуги равного радиуса, чтобы найти точку $Q$; 3) соединить точки $P$ и $Q$ прямой линией, которая и будет искомым перпендикуляром.