Номер 4, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Что такое параллелограмм?

4. Что такое параллелограмм?

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. То есть, если у нас есть четырёхугольник ABCD, то он является параллелограммом, если сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$).

Свойства параллелограмма:

• Противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.
• Противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$, $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ и т.д.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Если O — точка пересечения диагоналей AC и BD, то $AO = OC$ и $BO = OD$.
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Формулы для параллелограмма:

• Периметр (P) — сумма длин всех сторон: $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.
• Площадь (S) можно найти несколькими способами:
  • Через сторону и высоту, проведённую к этой стороне: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота.
  • Через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\alpha$ — угол между ними.
  • Через диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\gamma)$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $\gamma$ — угол между ними.

Частные случаи параллелограмма:

• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°).
• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это одновременно и прямоугольник, и ромб, то есть параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Он обладает рядом уникальных свойств, таких как равенство противоположных сторон и углов, а также тем, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Частными видами параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат.