Номер 10, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое средняя линия треугольника? Докажите ее свойства.

Что такое средняя линия треугольника?

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Поскольку у треугольника три стороны, у него можно построить три средние линии.

Ответ: Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Докажите ее свойства.

Основные свойства средней линии треугольника, которые также называют теоремой о средней линии треугольника, заключаются в следующем: средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано:

$\triangle ABC$

$M$ — середина стороны $AB$ ($AM = MB$)

$N$ — середина стороны $BC$ ($BN = NC$)

$MN$ — средняя линия.

Доказать:

1. $MN \parallel AC$

2. $MN = \frac{1}{2}AC$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle MBN$.

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. По условию, $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, $BM = \frac{1}{2}AB$. Отсюда получаем соотношение $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.

4. Аналогично, $N$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BN = \frac{1}{2}BC$. Отсюда получаем соотношение $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

5. Таким образом, мы имеем две пары пропорциональных сторон: $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

6. Поскольку две стороны одного треугольника ($\triangle MBN$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle ABC$) и углы, заключенные между этими сторонами, равны (общий угол $\angle B$), то эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников. То есть, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

7. Из подобия треугольников следуют два вывода:

а) Соответственные углы подобных треугольников равны: $\angle BMN = \angle BAC$. Эти углы являются соответственными при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то прямые $MN$ и $AC$ параллельны. Свойство $MN \parallel AC$ доказано.

б) Отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2}$. Из этого соотношения напрямую следует, что $MN = \frac{1}{2}AC$. Свойство $MN = \frac{1}{2}AC$ доказано.

Ответ: Используя подобие треугольников, мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.