Номер 14, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Докажите, что в треугольник можно вписать окружность и около него описать окружность.

В треугольник можно вписать окружность

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его трех сторон. Центр такой окружности называется инцентром. Для доказательства необходимо показать существование точки, равноудаленной от всех трех сторон любого треугольника. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть биссектриса угла между ними.

Проведем биссектрисы двух углов треугольника, например, $\angle A$ и $\angle B$. Поскольку углы треугольника меньше $180^\circ$, их биссектрисы не параллельны и пересекаются в некоторой точке $O$.

1. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, она равноудалена от сторон $AC$ и $AB$. Если опустить перпендикуляры $OM$ и $OK$ из точки $O$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно, то их длины будут равны: $OM = OK$.

2. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Если опустить перпендикуляр $ON$ из точки $O$ на сторону $BC$, то его длина будет равна длине перпендикуляра $OK$: $OK = ON$.

Из этих двух равенств следует, что $OM = OK = ON$. Равенство $OM = ON$ означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$. Следовательно, точка $O$ также лежит на биссектрисе угла $\angle C$.

Таким образом, все три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка равноудалена от всех трех сторон треугольника на расстояние $r = OM = OK = ON$.

Следовательно, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ будет касаться всех трех сторон треугольника в точках $M, K, N$. Эта окружность является вписанной в треугольник. Так как такое построение возможно для любого треугольника, утверждение доказано.

Ответ: Биссектрисы углов любого треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех его сторон. Эта точка является центром вписанной окружности, а расстояние до сторон — её радиусом. Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность.

Около треугольника можно описать окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три его вершины. Центр такой окружности называется циркумцентром. Для доказательства необходимо показать существование точки, равноудаленной от всех трех вершин любого треугольника. Эта точка и будет центром описанной окружности.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника, например, $AB$ и $BC$. Так как вершины $A, B, C$ не лежат на одной прямой, стороны $AB$ и $BC$ не параллельны, а значит, и их серединные перпендикуляры не параллельны и пересекаются в некоторой точке $O$.

1. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, она равноудалена от вершин $A$ и $B$. То есть, длина отрезка $OA$ равна длине отрезка $OB$: $OA = OB$.

2. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. То есть, $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Равенство $OA = OC$ означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Следовательно, точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника на расстояние $R = OA = OB = OC$.

Следовательно, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ будет проходить через все три вершины треугольника $A, B, C$. Эта окружность является описанной около треугольника. Так как такое построение возможно для любого треугольника, утверждение доказано.

Ответ: Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех его вершин. Эта точка является центром описанной окружности, а расстояние до вершин — её радиусом. Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность.