Номер 20, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Как определяются значения тригонометрических функций углов, равных $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$?

Значения тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60° (также известных как табличные значения) определяются геометрически. Для этого используются свойства двух специальных прямоугольных треугольников.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $a$. Его острые углы будут равны по 45°. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:

$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь, используя определения тригонометрических функций как отношения сторон в прямоугольном треугольнике, находим их значения для угла 45°:

$\sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$

$\cot 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$

Ответ: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cot 45^\circ = 1$.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной, равной $2a$. Все его углы равны 60°. Проведем в нем высоту $h$, которая также будет являться медианой и биссектрисой. Высота разделит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников будут углы 30°, 60° и 90°. Гипотенуза равна $2a$, а катет, лежащий напротив угла 30° (половина основания равностороннего треугольника), равен $a$.

Найдем второй катет (высоту $h$) по теореме Пифагора:

$h^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$

$h = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь определим значения тригонометрических функций для углов 60° и 30°.

Для угла 60°: противолежащий катет равен $h = a\sqrt{3}$, прилежащий катет равен $a$.

$\sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

$\cot 60^\circ = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Для угла 30°: противолежащий катет равен $a$, прилежащий катет равен $h = a\sqrt{3}$.

$\sin 30^\circ = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Ответ: для угла 30°: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.

Для угла 60°: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.