Номер 17, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Докажите теорему Пифагора.

17. Докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Требуется доказать, что $a^2 + b^2 = c^2$.

Для доказательства используем метод площадей.

1. Построим два квадрата. Сторона первого квадрата равна сумме катетов $(a+b)$. Его площадь $S_1 = (a+b)^2$.

2. Разместим на сторонах этого квадрата четыре копии нашего исходного прямоугольного треугольника так, чтобы их прямые углы совпадали с углами квадрата. В центре образуется пустое пространство, которое также является квадратом. Стороны этого внутреннего квадрата равны гипотенузе c. Это действительно квадрат, так как все его стороны равны c, а углы прямые (каждый угол равен $180^\circ - \alpha - \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника, а их сумма $\alpha + \beta = 90^\circ$).

3. Теперь площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей четырех треугольников и одного внутреннего квадрата.

• Площадь одного прямоугольного треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab$.
• Площадь четырех таких треугольников равна $4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab$.
• Площадь внутреннего квадрата со стороной c равна $S_{\square} = c^2$.

Таким образом, площадь всей фигуры также равна $S_1 = 2ab + c^2$.

4. Мы получили два выражения для площади одной и той же фигуры (большого квадрата). Приравняем их:

$(a+b)^2 = 2ab + c^2$

5. Раскроем скобки в левой части равенства:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

6. Вычтем из обеих частей равенства $2ab$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Равенство доказано.

Ответ: Теорема Пифагора доказана. Построив квадрат со стороной $(a+b)$ и вычислив его площадь двумя разными способами (как $(a+b)^2$ и как сумму площадей четырех прямоугольных треугольников $4 \cdot \frac{1}{2}ab$ и внутреннего квадрата $c^2$), мы приходим к равенству $(a+b)^2 = 2ab + c^2$, которое после упрощения дает итоговую формулу $a^2 + b^2 = c^2$.