Номер 22, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Каким свойством обладает высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла? Докажите это свойство.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, обладает несколькими важными свойствами. Основное свойство заключается в том, что она делит исходный треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному и подобны друг другу.

Из этого свойства вытекает ключевое метрическое соотношение: квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

Доказательство

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$.

Высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AH$ и $BH$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, а отрезок $BH$ — проекцией катета $BC$ на гипотенузу.

Нам нужно доказать, что $CH^2 = AH \cdot BH$.

Доказательство основано на подобии треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.

У них общий угол $\angle A$. Кроме того, $\angle AHC = 90^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия).

2. Рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.

У них общий угол $\angle B$. Кроме того, $\angle CHB = 90^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по двум углам.

3. Так как $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$, то по свойству транзитивности $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.

Из подобия треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ следует пропорциональность их соответственных сторон. Для правильного составления пропорции найдем соответственные углы.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ сумма острых углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = 90^\circ - \angle A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Таким образом, $\angle ACH = \angle B$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ угол $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$. А так как $\angle B = 90^\circ - \angle A$, то $\angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A$.

Теперь запишем отношение соответственных сторон для подобных треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$:

$\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$

(В $\triangle ACH$ катет $AH$ лежит против угла $\angle ACH$; в $\triangle CBH$ катет $CH$ лежит против угла $\angle B$. Так как $\angle ACH = \angle B$, эти стороны соответственные. В $\triangle ACH$ катет $CH$ лежит против угла $\angle A$; в $\triangle CBH$ катет $BH$ лежит против угла $\angle BCH$. Так как $\angle A = \angle BCH$, эти стороны также соответственные).

Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$CH \cdot CH = AH \cdot BH$

$CH^2 = AH \cdot BH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит его на два треугольника, подобных исходному. Следствием этого является то, что квадрат этой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу (то есть высота является средним геометрическим для этих отрезков).