Номер 29, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

29. Напишите уравнение прямой и окружности.

Поскольку на изображении представлен только текст вопроса без соответствующего графика, невозможно написать конкретные уравнения для данной прямой и окружности. Однако, я могу предоставить общее решение, объясняющее, как найти уравнение прямой и окружности по их изображению на координатной плоскости.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости чаще всего записывают в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью Oy (y-перехват).

Чтобы найти это уравнение по графику, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент $k$. Для этого выберите на прямой две любые точки с целыми (или легко читаемыми) координатами, например, $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Знак коэффициента $k$ показывает, возрастает прямая ($k > 0$) или убывает ($k < 0$).
2. Найти коэффициент $b$. Это координата $y$ точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось $y$). Её можно просто посмотреть на графике. Если это сделать сложно, можно подставить координаты одной из выбранных точек (например, $A(x_1, y_1)$) и найденный коэффициент $k$ в уравнение прямой $y = kx + b$ и решить его относительно $b$: $y_1 = kx_1 + b \Rightarrow b = y_1 - kx_1$.
3. Записать итоговое уравнение. Подставьте найденные значения $k$ и $b$ в общую формулу $y = kx + b$.

Альтернативно, можно использовать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Преобразовав это уравнение, можно также прийти к виду $y = kx + b$ или к общему виду $Ax + By + C = 0$.

Ответ: Общий вид уравнения прямой – $y = kx + b$ или $Ax + By + C = 0$. Конкретные значения коэффициентов определяются по графику.

Уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $C(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Чтобы найти это уравнение по графику, необходимо:

1. Определить координаты центра окружности $(a, b)$. Найдите на графике точку, которая является центром симметрии окружности. Запишите её координаты $a$ и $b$.
2. Определить радиус окружности $R$. Радиус – это расстояние от центра до любой точки на окружности. Проще всего измерить его по сетке, посчитав количество единичных отрезков от центра до окружности в горизонтальном или вертикальном направлении. Если это невозможно, выберите любую точку $M(x_1, y_1)$ на окружности и вычислите расстояние до центра $C(a, b)$ по формуле: $R = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2}$.
3. Записать итоговое уравнение. Подставьте найденные координаты центра $(a, b)$ и значение радиуса $R$ (а точнее, его квадрат $R^2$) в стандартную формулу.

Например, если центр окружности находится в точке $(2, -3)$, а её радиус равен $5$, то уравнение будет выглядеть так: $(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$, что равносильно $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

Ответ: Общий вид уравнения окружности – $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Конкретные значения $a$, $b$ и $R$ определяются по графику.