Номер 31, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

31. Как определяется косинус, синус и тангенс угла от $0^\circ$ до $180^\circ$?

Для определения тригонометрических функций угла $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ используется единичная полуокружность в прямоугольной системе координат. Это полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$, расположенная в верхней полуплоскости (где координата $y \ge 0$).

Рассмотрим произвольный угол $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), отложенный от положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$) против часовой стрелки. Пусть точка $M$ — это точка пересечения конечной стороны угла с единичной полуокружностью. Координаты этой точки $M$ обозначим как $(x, y)$.

Для острого угла $\alpha$ ($0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$) это определение совпадает с определением из прямоугольного треугольника. В треугольнике, образованном радиусом $OM$, осью $Ox$ и перпендикуляром из точки $M$ на ось $Ox$, гипотенуза равна 1, прилежащий катет равен $x$, а противолежащий — $y$. Таким образом, $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{1}=x$ и $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{1}=y$.

Косинус

Косинусом угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) называется абсцисса (координата $x$) точки $M$ на единичной полуокружности.

$\cos \alpha = x$

Поскольку точка $M(x, y)$ движется по полуокружности от $(1, 0)$ до $(-1, 0)$, ее абсцисса $x$ принимает все значения от $1$ до $-1$.

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то точка $M$ находится в первой четверти, и ее абсцисса $x$ положительна: $\cos \alpha > 0$.
• Если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$), то точка $M$ имеет координаты $(0, 1)$, поэтому $\cos 90^\circ = 0$.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то точка $M$ находится во второй четверти, и ее абсцисса $x$ отрицательна: $\cos \alpha < 0$.
• В крайних точках: $\cos 0^\circ = 1$ и $\cos 180^\circ = -1$.

Ответ: Косинусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называется абсцисса ($x$-координата) точки $M$ пересечения конечной стороны угла с единичной полуокружностью, с центром в начале координат.

Синус

Синусом угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $M$ на единичной полуокружности.

$\sin \alpha = y$

Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ точка $M$ находится в верхней полуплоскости, поэтому ее ордината $y$ всегда неотрицательна ($y \ge 0$).

• Если $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, то ордината $y$ положительна, следовательно, $\sin \alpha > 0$.
• В крайних точках: $\sin 0^\circ = 0$ и $\sin 180^\circ = 0$.
• При $\alpha = 90^\circ$ синус принимает свое максимальное значение: $\sin 90^\circ = 1$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называется ордината ($y$-координата) точки $M$ пересечения конечной стороны угла с единичной полуокружностью, с центром в начале координат.

Тангенс

Тангенсом угла $\alpha$ ($\text{tg}\,\alpha$) называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

$\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$

Тангенс определен для всех углов $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$, для которых косинус не равен нулю.

• Тангенс не определен при $\alpha = 90^\circ$, так как $\cos 90^\circ = 0$, что приводит к делению на ноль.
• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$, следовательно, $\text{tg}\,\alpha \ge 0$.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$, следовательно, $\text{tg}\,\alpha \le 0$.
• В крайних точках: $\text{tg}\,0^\circ = \frac{0}{1} = 0$ и $\text{tg}\,180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: Тангенсом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называется отношение синуса этого угла к его косинусу: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Тангенс определен для всех углов этого диапазона, кроме $\alpha = 90^\circ$.