Номер 3, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. Что такое модуль вектора? Какие векторы называются равными?

Что такое модуль вектора?

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка, который изображает данный вектор. Модуль является скалярной (числовой) и неотрицательной величиной.

Геометрически модуль вектора $\vec{AB}$ – это расстояние между его начальной точкой A и конечной точкой B. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.

Для любого вектора $\vec{a}$ его модуль $|\vec{a}| \ge 0$. Равенство нулю достигается только для нулевого вектора: $|\vec{0}| = 0$. Для любого ненулевого вектора его модуль строго положителен.

Если вектор задан своими координатами, его модуль вычисляется по формулам, основанным на теореме Пифагора:

• Для вектора на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$ его модуль равен: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.
• Для вектора в пространстве $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ его модуль равен: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Например, найдем модуль вектора $\vec{b} = (3; -4)$ на плоскости: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Модулем вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Это неотрицательное число.

Какие векторы называются равными?

Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены и их модули (длины) равны. Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы (лежащие на одной или параллельных прямых), которые направлены в одну и ту же сторону. Нулевой вектор считается равным только самому себе.

Обозначение равенства: $\vec{a} = \vec{b}$.

Геометрически это означает, что если совместить начальные точки равных векторов, то их концы тоже совпадут. Иными словами, один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса, не меняя его длину и направление.

В координатах условие равенства векторов очень простое: два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$, равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется, если $a_x = b_x$ и $a_y = b_y$.
• Для векторов в пространстве $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$, равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется, если $a_x = b_x$, $a_y = b_y$ и $a_z = b_z$.

Таким образом, равные векторы имеют одинаковое направление и длину, но их начальные точки могут быть расположены в разных местах пространства.

Ответ: Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. В координатах это означает, что их соответствующие координаты равны.