Номер 9, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Определите с помощью векторов координаты центра тяжести треугольника.

Для определения координат центра тяжести треугольника с помощью векторов введем обозначения. Пусть дан треугольник $ABC$ в декартовой системе координат. Координаты его вершин: $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ и $C(x_3, y_3)$. Положение этих вершин относительно начала координат $O(0, 0)$ задается радиус-векторами $\vec{r}_A$, $\vec{r}_B$ и $\vec{r}_C$ соответственно.

Центр тяжести однородного треугольника (также называемый центроидом) совпадает с точкой пересечения его медиан. Обозначим эту точку буквой $M$.

Рассмотрим медиану $AA_1$, где точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, для точки $A_1$ имеем:

$\vec{r}_{A_1} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Известно свойство медиан: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ и точки пересечения $M$ это означает, что $AM : MA_1 = 2:1$.

Это соотношение можно выразить в векторной форме. Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлены и длина $\vec{AM}$ составляет $2/3$ длины $\vec{AA_1}$, мы можем записать:

$\vec{AM} = \frac{2}{3} \vec{AA_1}$

Теперь выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ через радиус-векторы их начальных и конечных точек. Пусть $\vec{r}_M$ — радиус-вектор искомой точки $M$.

$\vec{AM} = \vec{r}_M - \vec{r}_A$

$\vec{AA_1} = \vec{r}_{A_1} - \vec{r}_A$

Подставим эти выражения в наше векторное равенство:

$\vec{r}_M - \vec{r}_A = \frac{2}{3}(\vec{r}_{A_1} - \vec{r}_A)$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $\vec{r}_{A_1}$:

$\vec{r}_M - \vec{r}_A = \frac{2}{3}\left(\frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2} - \vec{r}_A\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\vec{r}_M - \vec{r}_A = \frac{1}{3}(\vec{r}_B + \vec{r}_C) - \frac{2}{3}\vec{r}_A$

Перенесем $\vec{r}_A$ в правую часть, чтобы выразить $\vec{r}_M$:

$\vec{r}_M = \vec{r}_A - \frac{2}{3}\vec{r}_A + \frac{1}{3}\vec{r}_B + \frac{1}{3}\vec{r}_C$

$\vec{r}_M = \frac{1}{3}\vec{r}_A + \frac{1}{3}\vec{r}_B + \frac{1}{3}\vec{r}_C$

Таким образом, радиус-вектор центра тяжести треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

Данное векторное равенство эквивалентно системе двух скалярных равенств для координат. Если точка $M$ имеет координаты $(x_M, y_M)$, а радиус-векторы вершин имеют координаты $\vec{r}_A = (x_1, y_1)$, $\vec{r}_B = (x_2, y_2)$ и $\vec{r}_C = (x_3, y_3)$, то получаем:

$x_M = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Эти формулы показывают, что каждая координата центра тяжести треугольника является средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Ответ: Координаты центра тяжести $M(x_M, y_M)$ треугольника с вершинами в точках $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ и $C(x_3, y_3)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ и $y_M = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.