Номер 11, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11. Докажите теорему косинусов.

11. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, лежащим против стороны $c$, теорема записывается формулой: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Для доказательства введем на плоскости декартову систему координат. Расположим треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат $(0, 0)$, а сторону $CB$ (длиной $a$) расположим вдоль положительной полуоси абсцисс $Ox$. В этом случае вершина $B$ будет иметь координаты $(a, 0)$.

Сторона $AC$ имеет длину $b$. Угол между сторонами $AC$ и $CB$ равен $\gamma$. Тогда по определению тригонометрических функций в декартовых координатах, вершина $A$ будет иметь координаты $(b \cos \gamma, b \sin \gamma)$.

Длина стороны $c$ — это расстояние между точками $A$ и $B$. Найдем квадрат этого расстояния, используя формулу расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$: $c^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

Подставим в эту формулу координаты наших вершин $A(b \cos \gamma, b \sin \gamma)$ и $B(a, 0)$:

$c^2 = (a - b \cos \gamma)^2 + (0 - b \sin \gamma)^2$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении, используя формулы квадрата разности и квадрата числа:

$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + (b \cos \gamma)^2 + (-b \sin \gamma)^2$

$c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2 \cos^2 \gamma + b^2 \sin^2 \gamma$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$, и вынесем этот множитель за скобки:

$c^2 = a^2 + b^2(\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma) - 2ab \cos \gamma$

Применим основное тригонометрическое тождество, согласно которому $\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1$:

$c^2 = a^2 + b^2 \cdot 1 - 2ab \cos \gamma$

Таким образом, мы получаем искомую формулу теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Теорема доказана. Данное рассуждение справедливо для любого значения угла $\gamma$ в треугольнике (острого, тупого или прямого), поскольку определения тригонометрических функций и формула расстояния универсальны.

Ответ: Теорема косинусов доказана. Ее формулировка: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.