Номер 13, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Как можно решить треугольник по двум сторонам и углу между ними, по одной стороне и двум углам?

Решение треугольника означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам. Для этого используются теорема синусов, теорема косинусов и свойство суммы углов треугольника. Пусть стороны треугольника обозначаются как a, b, c, а противолежащие им углы как α, β, γ соответственно.

по двум сторонам и углу между ними

Этот случай соответствует второму признаку равенства треугольников (сторона, угол, сторона). Пусть нам известны две стороны, например a и b, и угол γ между ними.

1. Нахождение третьей стороны (c). Для этого используется теорема косинусов:

   $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

   Отсюда, третья сторона равна:

   $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$

2. Нахождение второго угла (например, α). Теперь, зная все три стороны и один угол, мы можем использовать теорему синусов для нахождения второго угла.

   $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

   Из этого соотношения выражаем синус угла α:

   $\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c}$

   И находим сам угол:

   $\alpha = \arcsin\left(\frac{a \sin \gamma}{c}\right)$

   (Также для нахождения угла можно снова применить теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$, откуда $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$).

3. Нахождение третьего угла (β). Зная два угла, третий угол находится из свойства о сумме углов треугольника, которая равна 180°:

   $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$

Ответ: 1. Найти третью сторону по теореме косинусов. 2. Найти второй угол по теореме синусов (или косинусов). 3. Найти третий угол, используя свойство суммы углов треугольника.

по одной стороне и двум углам

Этот случай соответствует первому признаку равенства треугольников (угол, сторона, угол). Пусть нам известна сторона, например a, и два угла. Возможны два варианта: либо известны прилежащие к стороне углы (β и γ), либо один прилежащий и один противолежащий (например, α и β). Алгоритм решения в обоих случаях практически одинаков.

1. Нахождение третьего угла. В первую очередь, находим третий угол, используя свойство о сумме углов треугольника. Если известны углы α и β, то третий угол γ равен:

   $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

2. Нахождение двух других сторон (b и c). Теперь, зная все три угла и одну сторону (a), мы можем использовать теорему синусов для нахождения двух оставшихся сторон.

   Теорема синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

   Из этой пропорции находим сторону b:

   $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

   И сторону c:

   $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \implies c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$

Таким образом, все три стороны и три угла становятся известны.

Ответ: 1. Найти третий угол из свойства суммы углов треугольника. 2. Используя теорему синусов, найти две неизвестные стороны.